Límite con parámetros y Regla de L'Hôpital

**2) Calcula el valor del parámetro $a \in \mathbb{R}$, para que el siguiente límite sea finito y calcula el valor de dicho límite $L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(x + 1) - a \sin(x) + 3 \cos(2x) - 3}{x^2}$.** En primer lugar, evaluamos el límite cuando $x \to 0$ para ver si presenta alguna indeterminación: Numerador: $\lim_{x \to 0} (\ln(x+1) - a \sin(x) + 3 \cos(2x) - 3) = \ln(1) - a \sin(0) + 3 \cos(0) - 3 = 0 - 0 + 3 - 3 = 0$. Denominador: $\lim_{x \to 0} x^2 = 0$. Obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$. Para que el límite sea finito y podamos resolverlo, aplicaremos la **Regla de L'Hôpital**, que consiste en derivar el numerador y el denominador de forma independiente. 💡 **Tip:** Para que un límite sea finito cuando el denominador tiende a cero, el numerador obligatoriamente debe tender a cero también (forma $\frac{0}{0}$); de lo contrario, el límite sería infinito.

Aplicamos la Regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador: $$L = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}[\ln(x+1) - a \sin(x) + 3 \cos(2x) - 3]}{\frac{d}{dx}[x^2]}$$ Calculamos las derivadas: - Derivada del numerador: $\frac{1}{x+1} - a \cos(x) - 6 \sin(2x)$. - Derivada del denominador: $2x$. Por tanto: $$L = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x+1} - a \cos(x) - 6 \sin(2x)}{2x}.$$ Evaluamos de nuevo el límite en $x=0$: - Numerador: $\frac{1}{0+1} - a \cos(0) - 6 \sin(0) = 1 - a$. - Denominador: $2(0) = 0$. Como el denominador es $0$, para que el límite sea **finito**, el numerador debe ser necesariamente $0$. Esto nos permite volver a aplicar L'Hôpital más adelante.

Para evitar que el límite sea infinito, imponemos la condición de que el numerador en $x=0$ sea igual a $0$: $$1 - a = 0 \implies \boxed{a = 1}$$ Si $a = 1$, el límite vuelve a presentar la indeterminación $\frac{0}{0}$, lo que nos permite aplicar la Regla de L'Hôpital por segunda vez para hallar el valor definitivo del límite. ✅ **Resultado parcial (parámetro):** $$\boxed{a = 1}$$

Sustituimos $a = 1$ en la expresión del límite tras la primera derivada y aplicamos L'Hôpital de nuevo: $$L = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x+1} - \cos(x) - 6 \sin(2x)}{2x}$$ Derivamos de nuevo numerador y denominador: - Derivada del numerador: $-\frac{1}{(x+1)^2} + \sin(x) - 12 \cos(2x)$. - Derivada del denominador: $2$. $$L = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{(x+1)^2} + \sin(x) - 12 \cos(2x)}{2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\frac{1}{x+1}$ es $-(x+1)^{-2} = -\frac{1}{(x+1)^2}$ y la derivada de $\sin(2x)$ requiere la regla de la cadena: $2\cos(2x)$.

Finalmente, evaluamos el límite sustituyendo $x = 0$ en la expresión resultante: $$L = \frac{-\frac{1}{(0+1)^2} + \sin(0) - 12 \cos(2 \cdot 0)}{2}$$ $$L = \frac{-1 + 0 - 12(1)}{2}$$ $$L = \frac{-13}{2}$$ El valor del límite es **$-6,5$**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 1, \quad L = -\dfrac{13}{2}}$$