Cálculo de parámetros en funciones e integración por partes

**a) (1 punto) Calcula los valores de $a$ y $b$, sabiendo que dicha función tiene un extremo relativo en $x = 0$ y un punto de inflexión en $x = 2$.** Para resolver este apartado, necesitamos trabajar con la primera y segunda derivada de la función. Primero, reescribimos $f(x)$ para facilitar la derivación: $$f(x) = x e^{ax} + bx - e$$ Calculamos la primera derivada $f'(x)$ usando la regla del producto para el término $x e^{ax}$: $$f'(x) = (1) \cdot e^{ax} + x \cdot (a e^{ax}) + b = e^{ax}(1 + ax) + b$$ Calculamos la segunda derivada $f''(x)$ derivando de nuevo el término $e^{ax}(1 + ax)$: $$f''(x) = a e^{ax}(1 + ax) + e^{ax}(a) = a e^{ax}(1 + ax + 1) = a e^{ax}(ax + 2)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de un producto es $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. Aquí $u = x$ y $v = e^{ax}$.

Se nos indica que la función tiene un **extremo relativo** en $x = 0$. Por la condición necesaria de extremo relativo en funciones derivables, sabemos que $f'(0) = 0$. Sustituimos $x = 0$ en la expresión de $f'(x)$: $$f'(0) = e^{a \cdot 0}(1 + a \cdot 0) + b = 0$$ $$e^0(1 + 0) + b = 0$$ $$1(1) + b = 0 \implies 1 + b = 0$$ Por lo tanto: $$\boxed{b = -1}$$ 💡 **Tip:** Un extremo relativo (máximo o mínimo) en un punto donde la función es derivable implica siempre que la pendiente de la recta tangente es cero.

Se nos indica que la función tiene un **punto de inflexión** en $x = 2$. Esto implica que la segunda derivada debe anularse en ese punto, es decir, $f''(2) = 0$. Sustituimos $x = 2$ en la expresión de $f''(x)$: $$f''(2) = a e^{a \cdot 2}(a \cdot 2 + 2) = 0$$ $$a e^{2a}(2a + 2) = 0$$ Como el enunciado especifica que $a \neq 0$ y sabemos que la función exponencial $e^{2a}$ nunca es cero, la única posibilidad es que el factor polinómico sea nulo: $$2a + 2 = 0 \implies 2a = -2 \implies a = -1$$ Para que sea punto de inflexión, debemos comprobar que hay un cambio de curvatura. Si $a=-1$: $$f''(x) = -e^{-x}(-x+2) = e^{-x}(x-2)$$ Analizamos el signo de $f''(x)$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 2) & 2 & (2, +\infty) \\ \hline f''(x) & - & 0 & + \end{array}$$ Como hay cambio de signo, confirmamos que es un punto de inflexión. ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{a = -1, \quad b = -1}$$

**b) (1 punto) Para los valores $a = 1$ y $b = 2$, calcula $\int f(x)dx$.** Sustituimos los valores $a = 1$ y $b = 2$ en la función original: $$f(x) = (e^{1 \cdot x} + 2)x - e = (e^x + 2)x - e = x e^x + 2x - e$$ Debemos calcular la integral indefinida: $$I = \int (x e^x + 2x - e) dx$$ Por la propiedad de linealidad de la integral, podemos separarla en tres partes: $$I = \int x e^x dx + \int 2x dx - \int e dx$$

La integral $\int x e^x dx$ se resuelve mediante el método de **integración por partes**. Elegimos las variables según la regla ALPES: - $u = x \implies du = dx$ - $dv = e^x dx \implies v = e^x$ Aplicamos la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: $$\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x$$ 💡 **Tip:** La regla ALPES ayuda a elegir $u$ siguiendo el orden: Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos/Cosenos.

Ahora integramos el resto de los términos y sumamos todos los resultados: 1. $\int x e^x dx = x e^x - e^x$ 2. $\int 2x dx = x^2$ 3. $\int e dx = ex$ (donde $e$ es la constante de Euler, aproximadamente $2.718$) Combinando todo y añadiendo la constante de integración $C$: $$I = (x e^x - e^x) + x^2 - ex + C$$ $$I = (x - 1)e^x + x^2 - ex + C$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{\int f(x)dx = (x - 1)e^x + x^2 - ex + C}$$