Distancia punto-recta y área de un triángulo

**a) Halla la distancia del punto $A$ a la recta $r$.** Para calcular la distancia de un punto $A$ a una recta $r$, utilizamos la fórmula basada en el producto vectorial: $$d(A, r) = \frac{|\vec{BA} \times \vec{u}_r|}{|\vec{u}_r|}$$ donde $B$ es un punto de la recta $r$ y $\vec{u}_r$ es su vector director. 1. **Vector director $\vec{u}_r$**: Como la recta pasa por $B$ y $C$, podemos usar el vector $\vec{BC}$: $$\vec{u}_r = \vec{BC} = C - B = (0 - 2, 1 - 1, -1 - 1) = (-2, 0, -2)$$ 2. **Vector $\vec{BA}$**: Unimos el punto $B$ de la recta con el punto exterior $A$: $$\vec{BA} = A - B = (-1 - 2, 1 - 1, 3 - 1) = (-3, 0, 2)$$ 💡 **Tip:** No importa si usas $\vec{BA}$ o $\vec{AB}$, ya que al final calcularemos el módulo (la longitud) del vector resultante.

Calculamos el producto vectorial $\vec{BA} \times \vec{u}_r$ mediante el determinante de los vectores unitarios $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$: $$\vec{BA} \times \vec{u}_r = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3 & 0 & 2 \\ -2 & 0 & -2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos el determinante (por adjuntos o Sarrus): $$\vec{BA} \times \vec{u}_r = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} -3 & 2 \\ -2 & -2 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} -3 & 0 \\ -2 & 0 \end{vmatrix}$$ $$\vec{BA} \times \vec{u}_r = \mathbf{i}(0 - 0) - \mathbf{j}(6 - (-4)) + \mathbf{k}(0 - 0)$$ $$\vec{BA} \times \vec{u}_r = 0\mathbf{i} - 10\mathbf{j} + 0\mathbf{k} = (0, -10, 0)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto vectorial genera un vector perpendicular a los dos vectores originales.

Ahora calculamos los módulos necesarios para aplicar la fórmula: * **Módulo del producto vectorial**: $$|\vec{BA} \times \vec{u}_r| = \sqrt{0^2 + (-10)^2 + 0^2} = \sqrt{100} = 10$$ * **Módulo del vector director**: $$|\vec{u}_r| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 0 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$ Sustituimos en la fórmula de la distancia: $$d(A, r) = \frac{10}{2\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}$$ Racionalizando el resultado: $$d(A, r) = \frac{5\sqrt{2}}{2} \approx 3,536 \text{ u}$$ ✅ **Resultado (distancia):** $$\boxed{d(A, r) = \frac{5\sqrt{2}}{2} \text{ unidades}}$$

**b) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son $A, B$ y $C$.** El área de un triángulo de vértices $A, B$ y $C$ es la mitad del área del paralelogramo definido por los vectores que parten de un mismo vértice (por ejemplo, $\vec{BA}$ y $\vec{BC}$): $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{BA} \times \vec{BC}|$$ Como ya hemos calculado el producto vectorial $\vec{BA} \times \vec{u}_r$ (donde $\vec{u}_r = \vec{BC}$) en el apartado anterior, sabemos que: $$|\vec{BA} \times \vec{BC}| = 10$$ Por tanto: $$\text{Área} = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \text{ u}^2$$ Alternativamente, usando la fórmula geométrica clásica: $$\text{Área} = \frac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2} = \frac{|\vec{BC}| \cdot d(A, r)}{2}$$ $$\text{Área} = \frac{2\sqrt{2} \cdot \frac{5\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado (área):** $$\boxed{\text{Área} = 5 \text{ unidades cuadradas}}$$