Plano mediador y área del triángulo de corte con los ejes

**a) Determina la ecuación del plano perpendicular al segmento $PQ$ que pasa por su punto medio.** El punto medio $M$ de un segmento con extremos $P(x_1, y_1, z_1)$ y $Q(x_2, y_2, z_2)$ se calcula como la media aritmética de sus coordenadas: $$M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2} \right)$$ Sustituyendo los valores de $P(0, 3, 8)$ y $Q(2, 1, 6)$: $$M = \left( \frac{0 + 2}{2}, \frac{3 + 1}{2}, \frac{8 + 6}{2} \right) = (1, 2, 7)$$ 💡 **Tip:** El punto medio es el centro geométrico del segmento y siempre pertenece al plano mediador. $$\boxed{M(1, 2, 7)}$$

Como el plano es perpendicular al segmento $PQ$, su vector normal $\vec{n}$ debe ser paralelo al vector que une ambos puntos, $\vec{PQ}$: $$\vec{PQ} = Q - P = (2 - 0, 1 - 3, 6 - 8) = (2, -2, -2)$$ Para facilitar los cálculos, podemos usar cualquier vector proporcional. Dividimos entre $2$ para simplificar el vector normal: $$\vec{n} = (1, -1, -1)$$ 💡 **Tip:** En la ecuación de un plano $ax + by + cz + d = 0$, los coeficientes $(a, b, c)$ corresponden a las componentes del vector normal.

La ecuación de un plano con vector normal $\vec{n} = (a, b, c)$ que pasa por un punto $M(x_0, y_0, z_0)$ es: $$a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$$ Usando el punto $M(1, 2, 7)$ y el vector $\vec{n} = (1, -1, -1)$: $$1(x - 1) - 1(y - 2) - 1(z - 7) = 0$$ $$x - 1 - y + 2 - z + 7 = 0$$ Simplificando la expresión: $$x - y - z + 8 = 0$$ ✅ **Resultado (Ecuación del plano):** $$\boxed{x - y - z + 8 = 0}$$

**b) Halla los puntos de corte de dicho plano con los ejes coordenados y calcula el área del triángulo cuyos vértices son esos puntos.** Para hallar el corte con los ejes, anulamos las coordenadas correspondientes en la ecuación $x - y - z + 8 = 0$: * **Punto $A$ (Eje $OX$):** Hacemos $y = 0, z = 0$: $$x - 0 - 0 + 8 = 0 \implies x = -8 \implies A(-8, 0, 0)$$ * **Punto $B$ (Eje $OY$):** Hacemos $x = 0, z = 0$: $$0 - y - 0 + 8 = 0 \implies y = 8 \implies B(0, 8, 0)$$ * **Punto $C$ (Eje $OZ$):** Hacemos $x = 0, y = 0$: $$0 - 0 - z + 8 = 0 \implies z = 8 \implies C(0, 0, 8)$$ 💡 **Tip:** Los puntos de corte con los ejes siempre tienen dos de sus coordenadas iguales a cero. $$\boxed{A(-8, 0, 0), \quad B(0, 8, 0), \quad C(0, 0, 8)}$$

Para calcular el área del triángulo $ABC$, utilizaremos el producto vectorial. Primero necesitamos los vectores que parten de un mismo vértice, por ejemplo, $A$: $$\vec{AB} = B - A = (0 - (-8), 8 - 0, 0 - 0) = (8, 8, 0)$$ $$\vec{AC} = C - A = (0 - (-8), 0 - 0, 8 - 0) = (8, 0, 8)$$ Estos vectores definen los dos lados del triángulo que confluyen en el vértice $A$.

El producto vectorial $\vec{AB} \times \vec{AC}$ se calcula mediante el siguiente determinante resuelto por Sarrus: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 8 & 8 & 0 \\ 8 & 0 & 8 \end{vmatrix}$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \mathbf{i}(8 \cdot 8 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(8 \cdot 8 - 8 \cdot 0) + \mathbf{k}(8 \cdot 0 - 8 \cdot 8)$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = 64\mathbf{i} - 64\mathbf{j} - 64\mathbf{k} = (64, -64, -64)$$ 💡 **Tip:** El módulo del producto vectorial de dos vectores es igual al área del paralelogramo que forman. El área del triángulo es exactamente la mitad.

El área del triángulo es la mitad del módulo del vector obtenido: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$$ Calculamos el módulo: $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{64^2 + (-64)^2 + (-64)^2} = \sqrt{64^2(1 + 1 + 1)} = 64\sqrt{3}$$ Finalmente: $$\text{Área} = \frac{1}{2} \cdot 64\sqrt{3} = 32\sqrt{3} \text{ u}^2$$ Valor aproximado: $\approx 55.43 \text{ u}^2$. ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{\text{Área} = 32\sqrt{3} \text{ unidades cuadradas}}$$