Invertibilidad de matrices y resolución de ecuaciones matriciales

**a) Determina para qué valores de $m$ existe la inversa de la matriz $A$.** Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 0 & 0 & m \\ m & 0 & 0 \\ 0 & m & 0 \end{vmatrix}$$ Como es una matriz con muchos ceros, aplicamos el desarrollo o la regla de Sarrus directamente: $$|A| = 0 \cdot 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 \cdot 0 + m \cdot m \cdot m - (m \cdot 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 \cdot 0 + 0 \cdot m \cdot 0)$$ $$|A| = m^3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz $A$ es invertible (o regular) si y solo si $|A| \neq 0$.

Para que exista la inversa $A^{-1}$, el determinante debe ser no nulo: $$|A| \neq 0 \implies m^3 \neq 0 \implies m \neq 0$$ Por tanto, la matriz admite inversa para cualquier valor real de $m$ distinto de cero. ✅ **Resultado a):** $$\boxed{m \in \mathbb{R} \setminus \{0\}}$$

**b) Para todo $m \neq -1$, resuelve, si es posible, la ecuación $AX + X = B$.** Primero, despejamos la matriz $X$ en la ecuación dada: $$AX + X = B$$ Sacamos factor común $X$ por la derecha (el orden es fundamental en el producto de matrices): $$(A + I)X = B$$ Donde $I$ es la matriz identidad de orden 3. Llamemos $C = A + I$. Si la matriz $C$ es invertible, podemos multiplicar por $C^{-1}$ por la izquierda en ambos miembros: $$C^{-1}(CX) = C^{-1}B \implies X = C^{-1}B$$ 💡 **Tip:** Al sacar factor común, recuerda que $X = I \cdot X$. Por eso, $AX + X$ se convierte en $(A+I)X$.

Calculamos la matriz $C = A + I$: $$C = \begin{pmatrix} 0 & 0 & m \\ m & 0 & 0 \\ 0 & m & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & m \\ m & 1 & 0 \\ 0 & m & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante para comprobar si es invertible: $$|C| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & m \\ m & 1 & 0 \\ 0 & m & 1 \end{vmatrix} = 1(1 - 0) - 0 + m(m^2 - 0) = 1 + m^3$$ El enunciado nos indica que $m \neq -1$. Si $m \neq -1$, entonces $m^3 \neq -1$, lo que implica que $|C| = 1 + m^3 \neq 0$. Por tanto, **$C$ siempre tiene inversa** en las condiciones dadas.

Para hallar $C^{-1}$, calculamos primero la matriz de los adjuntos (cofactores) $\text{Adj}(C)$: - $C_{11} = +|\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ m & 1 \end{smallmatrix}| = 1$ - $C_{12} = -|\begin{smallmatrix} m & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}| = -m$ - $C_{13} = +|\begin{smallmatrix} m & 1 \\ 0 & m \end{smallmatrix}| = m^2$ - $C_{21} = -|\begin{smallmatrix} 0 & m \\ m & 1 \end{smallmatrix}| = m^2$ - $C_{22} = +|\begin{smallmatrix} 1 & m \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}| = 1$ - $C_{23} = -|\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & m \end{smallmatrix}| = -m$ - $C_{31} = +|\begin{smallmatrix} 0 & m \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}| = -m$ - $C_{32} = -|\begin{smallmatrix} 1 & m \\ m & 0 \end{smallmatrix}| = m^2$ - $C_{33} = +|\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ m & 1 \end{smallmatrix}| = 1$ La matriz adjunta traspuesta es: $$\text{Adj}(C)^T = \begin{pmatrix} 1 & m^2 & -m \\ -m & 1 & m^2 \\ m^2 & -m & 1 \end{pmatrix}$$ Entonces, $C^{-1} = \dfrac{1}{1+m^3} \begin{pmatrix} 1 & m^2 & -m \\ -m & 1 & m^2 \\ m^2 & -m & 1 \end{pmatrix}$.

Finalmente, calculamos $X$ multiplicando $C^{-1}$ por $B$: $$X = \frac{1}{1+m^3} \begin{pmatrix} 1 & m^2 & -m \\ -m & 1 & m^2 \\ m^2 & -m & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Efectuamos el producto fila por columna: - Fila 1: $(1\cdot1, 1\cdot0 + m^2\cdot0 - m\cdot1, 1\cdot0 + m^2\cdot1 - m\cdot0) = (1, -m, m^2)$ - Fila 2: $(-m\cdot1, -m\cdot0 + 1\cdot0 + m^2\cdot1, -m\cdot0 + 1\cdot1 + m^2\cdot0) = (-m, m^2, 1)$ - Fila 3: $(m^2\cdot1, m^2\cdot0 - m\cdot0 + 1\cdot1, m^2\cdot0 - m\cdot1 + 1\cdot0) = (m^2, 1, -m)$ ✅ **Resultado b):** $$\boxed{X = \frac{1}{1+m^3} \begin{pmatrix} 1 & -m & m^2 \\ -m & m^2 & 1 \\ m^2 & 1 & -m \end{pmatrix}}$$