Problema de sistemas de ecuaciones lineales en contexto comercial

En primer lugar, definimos las incógnitas que representan el número de coches vendidos de cada color: - $x$: número de coches blancos vendidos. - $y$: número de coches negros vendidos. - $z$: número de coches rojos vendidos. El número total de coches vendidos será la suma de los tres: $T = x + y + z$. 💡 **Tip:** Definir claramente las variables es el primer paso fundamental para no cometer errores en el planteamiento del sistema.

Traduciamos las condiciones del enunciado a lenguaje algebraico: 1. **"El $60 \%$ de los coches blancos más el $50 \%$ de los coches negros representan el $30 \%$ de los coches vendidos"**: $$0,60x + 0,50y = 0,30(x + y + z)$$ 2. **"El $20 \%$ de los coches blancos junto con el $60 \%$ de los coches negros y el $60 \%$ de los coches rojos representan la mitad de los coches vendidos"**: $$0,20x + 0,60y + 0,60z = 0,50(x + y + z)$$ 3. **"Se han vendido 100 coches negros más que blancos"**: $$y = x + 100$$ 💡 **Tip:** Recuerda que un porcentaje se expresa en decimal dividiendo por 100 (ej: $60 \% = 0,60$).

Vamos a simplificar las dos primeras ecuaciones para trabajar con números enteros: - **Ecuación 1:** $$0,6x + 0,5y = 0,3x + 0,3y + 0,3z \implies 0,3x + 0,2y - 0,3z = 0$$ Multiplicamos por 10 para eliminar decimales: $$3x + 2y - 3z = 0$$ - **Ecuación 2:** $$0,2x + 0,6y + 0,6z = 0,5x + 0,5y + 0,5z \implies -0,3x + 0,1y + 0,1z = 0$$ Multiplicamos por 10 para eliminar decimales: $$-3x + y + z = 0$$ - **Ecuación 3:** $$-x + y = 100$$ El sistema resultante es: $$\begin{cases} 3x + 2y - 3z = 0 & (1) \\ -3x + y + z = 0 & (2) \\ -x + y = 100 & (3) \end{cases}$$

Utilizaremos el método de sustitución, ya que la tercera ecuación nos da una relación directa entre $x$ e $y$. De la ecuación $(3)$, despejamos $y$: $$y = x + 100$$ Sustituimos $y$ en las ecuaciones $(1)$ y $(2)$: - En $(1)$: $$3x + 2(x + 100) - 3z = 0 \implies 3x + 2x + 200 - 3z = 0 \implies 5x - 3z = -200 \quad (1')$$ - En $(2)$: $$-3x + (x + 100) + z = 0 \implies -2x + z + 100 = 0 \implies z = 2x - 100 \quad (2')$$ Ahora sustituimos $z$ de $(2')$ en $(1')$: $$5x - 3(2x - 100) = -200$$ $$5x - 6x + 300 = -200$$ $$-x = -500 \implies \mathbf{x = 500}$$ Ahora calculamos $y$ y $z$: $$y = 500 + 100 = \mathbf{600}$$ $$z = 2(500) - 100 = 1000 - 100 = \mathbf{900}$$ 💡 **Tip:** Siempre conviene comprobar los resultados finales en las ecuaciones originales para asegurar que la solución es correcta.

Tras resolver el sistema de ecuaciones, obtenemos el número de coches vendidos para cada color: - Coches blancos ($x$): 500 - Coches negros ($y$): 600 - Coches rojos ($z$): 900 ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{matrix} \text{Coches blancos: } 500 \\ \text{Coches negros: } 600 \\ \text{Coches rojos: } 900 \end{matrix}}$$