Límite con integral definida y Regla de L'Hôpital

**EJERCICIO 4. (2,5 puntos) Considera la función $F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $F(x) = \int_{0}^{x} \text{sen} (t^2) \, dt$. Calcula $\lim_{x \to 0} \frac{xF(x)}{\text{sen}(x^2)}$.** Primero, evaluamos el límite cuando $x \to 0$ para ver si existe una indeterminación. Para el numerador: - El factor $x$ tiende a $0$. - La función $F(x) = \int_{0}^{x} \text{sen}(t^2) \, dt$, al evaluar en $x=0$, resulta en $F(0) = \int_{0}^{0} \text{sen}(t^2) \, dt = 0$. - Por tanto, el numerador $x \cdot F(x)$ tiende a $0 \cdot 0 = 0$. Para el denominador: - $\text{sen}(x^2)$ tiende a $\text{sen}(0^2) = 0$. Obtenemos la indeterminación **$\frac{0}{0}$**, lo que nos permite aplicar la **Regla de L'Hôpital**. 💡 **Tip:** Recuerda que si el límite de un cociente presenta la forma $0/0$ o $\infty/\infty$, podemos derivar numerador y denominador de forma independiente.

Para aplicar la Regla de L'Hôpital, necesitamos las derivadas del numerador y del denominador. 1. **Derivada del numerador** ($x F(x)$): Usamos la regla del producto: $$(x F(x))' = (x)' \cdot F(x) + x \cdot F'(x) = 1 \cdot F(x) + x \cdot F'(x).$$ Según el **Teorema Fundamental del Cálculo**, si $F(x) = \int_{0}^{x} f(t) \, dt$, entonces $F'(x) = f(x)$. En nuestro caso: $$F'(x) = \text{sen}(x^2).$$ Así, la derivada del numerador es: $F(x) + x \text{sen}(x^2)$. 2. **Derivada del denominador** ($\text{sen}(x^2)$): Usamos la regla de la cadena: $$(\text{sen}(x^2))' = \cos(x^2) \cdot (x^2)' = 2x \cos(x^2).$$ Aplicamos L'Hôpital: $$\lim_{x \to 0} \frac{x F(x)}{\text{sen}(x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{F(x) + x \text{sen}(x^2)}{2x \cos(x^2)}.$$ 💡 **Tip:** El Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que la derivada de una función definida por una integral con límite superior $x$ es simplemente la función del integrando evaluada en $x$.

Evaluamos de nuevo el límite obtenido: - Numerador: $F(0) + 0 \cdot \text{sen}(0) = 0 + 0 = 0$. - Denominador: $2(0) \cdot \cos(0) = 0 \cdot 1 = 0$. Persiste la indeterminación **$\frac{0}{0}$**. Aplicamos L'Hôpital por segunda vez derivando de nuevo: 1. **Nueva derivada del numerador** ($F(x) + x \text{sen}(x^2)$): $$(F(x) + x \text{sen}(x^2))' = F'(x) + [1 \cdot \text{sen}(x^2) + x \cdot \cos(x^2) \cdot 2x] = \text{sen}(x^2) + \text{sen}(x^2) + 2x^2 \cos(x^2)$$ $$= 2 \text{sen}(x^2) + 2x^2 \cos(x^2).$$ 2. **Nueva derivada del denominador** ($2x \cos(x^2)$): $$(2x \cos(x^2))' = 2 \cos(x^2) + 2x \cdot (-\text{sen}(x^2) \cdot 2x) = 2 \cos(x^2) - 4x^2 \text{sen}(x^2).$$ Sustituimos en el límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{2 \text{sen}(x^2) + 2x^2 \cos(x^2)}{2 \cos(x^2) - 4x^2 \text{sen}(x^2)}.$$ Ahora evaluamos directamente sustituyendo $x=0$: $$\frac{2 \text{sen}(0) + 2(0)^2 \cos(0)}{2 \cos(0) - 4(0)^2 \text{sen}(0)} = \frac{0 + 0}{2(1) - 0} = \frac{0}{2} = 0.$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{0}$$