Área entre función con valor absoluto y recta tangente

**Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de dicha función y su recta tangente en el punto de abscisa $x = 0$.** Para trabajar con la función $f(x) = x|x - 1|$, primero debemos eliminar el valor absoluto. La expresión $|x-1|$ cambia de signo en $x=1$: - Si $x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$, entonces $|x - 1| = x - 1$. - Si $x - 1 < 0 \Rightarrow x < 1$, entonces $|x - 1| = -(x - 1) = -x + 1$. Multiplicando por la $x$ exterior, la función queda definida como: $$f(x)=\begin{cases} -x^2 + x & \text{si } x < 1,\\ x^2 - x & \text{si } x \ge 1. \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $|u| = u$ si $u \ge 0$ y $|u| = -u$ si $u < 0$.

La ecuación de la recta tangente en $x = a$ es $y - f(a) = f'(a)(x - a)$. En este caso, $a = 0$. 1. **Punto de tangencia:** Como $0 < 1$, usamos la primera rama: $$f(0) = -0^2 + 0 = 0 \implies \text{Punto } (0,0).$$ 2. **Pendiente ($m$):** Derivamos la primera rama para $x < 1$: $$f'(x) = -2x + 1.$$ Evaluamos en $x = 0$: $$m = f'(0) = -2(0) + 1 = 1.$$ 3. **Ecuación de la recta ($r$):** $$y - 0 = 1(x - 0) \implies y = x.$$ ✅ **Recta tangente:** $$\boxed{y = x}$$

Para delimitar el área, igualamos $f(x)$ con la recta tangente $y = x$: **Rama 1 ($x < 1$):** $$-x^2 + x = x \implies -x^2 = 0 \implies x = 0.$$ **Rama 2 ($x \ge 1$):** $$x^2 - x = x \implies x^2 - 2x = 0 \implies x(x - 2) = 0.$$ Obtenemos $x = 0$ (no pertenece a esta rama) y $x = 2$ (sí pertenece). Los puntos de corte que limitan el recinto son **$x = 0$** y **$x = 2$**. 💡 **Tip:** Es fundamental comprobar que las soluciones obtenidas pertenecen al intervalo de la rama que estamos analizando.

El área es la integral de la diferencia entre las funciones en el intervalo $[0, 2]$. Debemos dividir la integral en dos partes debido al cambio de definición de $f(x)$ en $x = 1$: $$A = \int_{0}^{2} |x - f(x)| \, dx = \int_{0}^{1} (x - f(x)) \, dx + \int_{1}^{2} (x - f(x)) \, dx.$$ Analizamos el signo de $x - f(x)$: - En $[0, 1]$: $x - (-x^2 + x) = x^2$, que es positivo. - En $[1, 2]$: $x - (x^2 - x) = 2x - x^2 = x(2 - x)$, que es positivo en este intervalo. Por tanto: $$A = \int_{0}^{1} x^2 \, dx + \int_{1}^{2} (2x - x^2) \, dx.$$ 💡 **Tip:** El área entre dos curvas $g(x)$ y $h(x)$ es $\int |g(x) - h(x)| \, dx$. Siempre restamos la función que queda por arriba menos la que queda por debajo.

Calculamos cada parte por separado: 1. **Primera parte ($I_1$):** $$I_1 = \int_{0}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}.$$ 2. **Segunda parte ($I_2$):** $$I_2 = \int_{1}^{2} (2x - x^2) \, dx = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = \left( 2^2 - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 1^2 - \frac{1^3}{3} \right)$$ $$I_2 = \left( 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( 1 - \frac{1}{3} \right) = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}.$$ **Suma de áreas:** $$A = I_1 + I_2 = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1.$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = 1 \text{ u}^2}$$