Abscisas de tangencia y punto de inflexión

**a) [1,5 puntos] Determina las abscisas de los puntos, si existen, en los que la pendiente de la recta tangente coincide con la pendiente de la recta que pasa por los puntos $(-2, f(-2))$ y $(2, f(2))$.** Primero, calculamos las ordenadas de los puntos de la recta secante evaluando la función en $x = -2$ y $x = 2$: $$f(-2) = (-2)^3 - 2(-2) + 5 = -8 + 4 + 5 = 1$$ $$f(2) = (2)^3 - 2(2) + 5 = 8 - 4 + 5 = 9$$ Los puntos por los que pasa la recta son $(-2, 1)$ y $(2, 9)$. La pendiente $m_s$ de la recta que une estos puntos se calcula mediante la fórmula: $$m_s = \frac{f(2) - f(-2)}{2 - (-2)} = \frac{9 - 1}{2 + 2} = \frac{8}{4} = 2$$ 💡 **Tip:** La pendiente de una recta que pasa por $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ es $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. $$\boxed{m_s = 2}$$

La pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en un punto de abscisa $x$ viene dada por el valor de su derivada $f'(x)$. Calculamos la derivada de $f(x) = x^3 - 2x + 5$: $$f'(x) = 3x^2 - 2$$ Igualamos la derivada a la pendiente de la recta secante hallada en el paso anterior ($m_s = 2$): $$3x^2 - 2 = 2 \implies 3x^2 = 4 \implies x^2 = \frac{4}{3}$$ Resolvemos para $x$: $$x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}} = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$$ Comprobamos si estos valores pertenecen al dominio de la función $[-2, 2]$. Dado que $\frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1,15$, ambos valores están dentro del intervalo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = \frac{2\sqrt{3}}{3}, \quad x = -\frac{2\sqrt{3}}{3}}$$

**b) [1 punto] Determina la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de inflexión.** Para hallar el punto de inflexión, calculamos la segunda derivada de la función: $$f'(x) = 3x^2 - 2 \implies f''(x) = 6x$$ Igualamos la segunda derivada a cero para encontrar los candidatos a punto de inflexión: $$6x = 0 \implies x = 0$$ Estudiamos el signo de $f''(x)$ para confirmar el cambio de curvatura: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-2, 0) & 0 & (0, 2)\\\hline f''(x) & - & 0 & + \end{array}$$ Como existe un cambio de signo en $x = 0$ (pasa de cóncava a convexa), hay un **punto de inflexión** en $x = 0$. Calculamos la ordenada del punto: $f(0) = 0^3 - 2(0) + 5 = 5$. El punto de inflexión es $I(0, 5)$. 💡 **Tip:** Recuerda que para que exista un punto de inflexión, la segunda derivada debe ser cero (o no existir) y debe haber un cambio real en el signo de la curvatura.

Para las rectas en $x = 0$, necesitamos la pendiente de la tangente $m_t$, que es $f'(0)$: $$m_t = f'(0) = 3(0)^2 - 2 = -2$$ **Ecuación de la recta tangente:** Usamos la fórmula $y - f(a) = f'(a)(x - a)$: $$y - 5 = -2(x - 0) \implies y = -2x + 5$$ **Ecuación de la recta normal:** La pendiente de la normal es $m_n = -\frac{1}{f'(0)} = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$. Usamos la fórmula $y - f(a) = -\frac{1}{f'(a)}(x - a)$: $$y - 5 = \frac{1}{2}(x - 0) \implies y = \frac{1}{2}x + 5$$ 💡 **Tip:** La recta normal es perpendicular a la tangente, por lo que el producto de sus pendientes debe ser $-1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Tangente: } y = -2x + 5 \quad \text{Normal: } y = \frac{1}{2}x + 5}$$