Extremos absolutos y límites con funciones exponenciales

**a) [1,5 puntos] Estudia y halla los máximos y mínimos absolutos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).** Primero, observamos que el dominio de la función es $D = \mathbb{R}$, ya que el denominador $e^x + e^{-x}$ nunca se anula (es siempre positivo). Para encontrar los candidatos a extremos, calculamos la derivada de $f(x)$ usando la regla de la cadena para una función del tipo $1/u$: $$f'(x) = -\frac{(e^x + e^{-x})'}{(e^x + e^{-x})^2} = -\frac{e^x - e^{-x}}{(e^x + e^{-x})^2}$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies -(e^x - e^{-x}) = 0 \implies e^x = e^{-x}$$ Multiplicando por $e^x$ en ambos lados: $$e^{2x} = 1 \implies 2x = \ln(1) \implies 2x = 0 \implies x = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $(e^{-x})' = -e^{-x}$. El signo de la derivada dependerá exclusivamente del numerador, ya que el denominador al cuadrado siempre es positivo. $$\boxed{f'(x) = \frac{e^{-x} - e^x}{(e^x + e^{-x})^2}}$$

Analizamos el signo de $f'(x)$ alrededor de $x = 0$ para determinar si es un máximo o un mínimo. El signo depende de $e^{-x} - e^x$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array}$$ - Si $x \lt 0$, entonces $e^{-x} \gt e^x$, por lo que $f'(x) \gt 0$ y la función es **creciente**. - Si $x \gt 0$, entonces $e^{-x} \lt e^x$, por lo que $f'(x) \lt 0$ y la función es **decreciente**. Por tanto, en $x = 0$ hay un **máximo relativo**. El valor que alcanza es: $$f(0) = \frac{1}{e^0 + e^{-0}} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$$ 💡 **Tip:** Una función es par si $f(x) = f(-x)$. En este caso, $f(-x) = \frac{1}{e^{-x} + e^x} = f(x)$, lo que confirma la simetría respecto al eje Y.

Para comprobar si el máximo relativo es absoluto y si existen mínimos absolutos, estudiamos el comportamiento de la función en los extremos del dominio: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{e^x + e^{-x}} = \frac{1}{\infty + 0} = 0$$ $$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{e^x + e^{-x}} = \frac{1}{0 + \infty} = 0$$ Como la función siempre es positiva ($f(x) \gt 0$ para todo $x$) y tiende a $0$ en el infinito, el valor $1/2$ es el mayor valor posible. - **Máximo absoluto:** Se alcanza en la abscisa **$x = 0$** y el valor máximo absoluto es **$1/2$**. - **Mínimo absoluto:** No existe. Aunque la función tiende a $0$ cuando $x \to \pm\infty$, nunca llega a alcanzar dicho valor, por lo que no tiene un mínimo absoluto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo absoluto en } (0, 1/2). \text{ No existe mínimo absoluto.}}$$

**b) [1 punto] Calcula $\lim_{x \to +\infty} (x^2 f(x))$.** Planteamos el límite: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x + e^{-x}}$$ Al evaluar, obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{\infty}{\infty}$. Aplicamos la **regla de L'Hôpital**, derivando numerador y denominador por separado: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x + e^{-x}} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right] \stackrel{H}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{e^x - e^{-x}}$$ Seguimos teniendo una indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$, por lo que aplicamos L'Hôpital una segunda vez: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{e^x - e^{-x}} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right] \stackrel{H}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x + e^{-x}}$$ Ahora evaluamos el límite final: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x + e^{-x}} = \frac{2}{\infty + 0} = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la regla de L'Hôpital dice que si $\lim \frac{f(x)}{g(x)}$ da $\frac{\infty}{\infty}$ o $\frac{0}{0}$, entonces el límite es igual a $\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ si este existe. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} (x^2 f(x)) = 0}$$