Volumen de un tetraedro limitado por un plano y los planos cartesianos

Para hallar la ecuación del plano $\pi$ que pasa por los puntos $A, B$ y $C$, primero determinamos dos vectores directores a partir de dichos puntos: $$\vec{u} = \vec{AB} = B - A = (3 - 0, 2 - 2, 1 - (-2)) = (3, 0, 3)$$ $$\vec{v} = \vec{AC} = C - A = (2 - 0, 3 - 2, 2 - (-2)) = (2, 1, 4)$$ 💡 **Tip:** Un plano queda determinado por un punto y dos vectores directores no proporcionales. En este caso, usamos el punto $A$ y los vectores que parten de él hacia $B$ y $C$.

El vector normal $\vec{n}$ es perpendicular a los vectores directores $\vec{u}$ y $\vec{v}$. Lo calculamos mediante el producto vectorial: $$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante desarrollando por la primera fila (Sarrus): $$\vec{n} = \vec{i}(0 \cdot 4 - 3 \cdot 1) - \vec{j}(3 \cdot 4 - 3 \cdot 2) + \vec{k}(3 \cdot 1 - 0 \cdot 2)$$ $$\vec{n} = \vec{i}(-3) - \vec{j}(12 - 6) + \vec{k}(3) = (-3, -6, 3)$$ Para trabajar con valores más sencillos, podemos simplificar el vector normal dividiéndolo por $-3$: $$\vec{n}' = (1, 2, -1)$$ $$\boxed{\vec{n}' = (1, 2, -1)}$$

La ecuación general o implícita de un plano tiene la forma $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ son las componentes del vector normal $\vec{n}'$. Sustituimos el vector $(1, 2, -1)$: $$x + 2y - z + D = 0$$ Para hallar $D$, imponemos que el punto $A(0, 2, -2)$ pertenezca al plano: $$0 + 2(2) - (-2) + D = 0 \Rightarrow 4 + 2 + D = 0 \Rightarrow D = -6$$ La ecuación del plano buscado es: $$\boxed{x + 2y - z - 6 = 0}$$

El tetraedro está formado por el origen $O(0,0,0)$ y los puntos de intersección del plano con los ejes $X, Y$ y $Z$. Los calculamos igualando a cero las otras dos coordenadas: * **Eje X** ($y=0, z=0$): $x + 2(0) - (0) = 6 \Rightarrow x = 6$. Punto **$P_1(6, 0, 0)$**. * **Eje Y** ($x=0, z=0$): $0 + 2y - 0 = 6 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3$. Punto **$P_2(0, 3, 0)$**. * **Eje Z** ($x=0, y=0$): $0 + 2(0) - z = 6 \Rightarrow -z = 6 \Rightarrow z = -6$. Punto **$P_3(0, 0, -6)$**.

El volumen de un tetraedro con un vértice en el origen y los otros tres sobre los ejes coordenados (vértices $O, P_1, P_2, P_3$) se calcula como la sexta parte del valor absoluto del producto de sus coordenadas no nulas: $$V = \frac{1}{6} |x_1 \cdot y_2 \cdot z_3|$$ Sustituyendo los valores hallados: $$V = \frac{1}{6} |6 \cdot 3 \cdot (-6)| = \frac{1}{6} |-108| = \frac{108}{6} = 18$$ 💡 **Tip:** De forma general, el volumen es $V = \frac{1}{6} |[\vec{OP_1}, \vec{OP_2}, \vec{OP_3}]|$, que es un sexto del volumen del paralelepípedo definido por los vectores. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{V = 18 \text{ unidades cúbicas}}$$