Distancia de un punto a una recta y ángulo entre planos

**a) [1,5 puntos] Calcula la distancia entre la recta intersección de $\pi_1$ y $\pi_2$ y el punto $P(2, 6, -2)$.** Primero obtenemos las características de la recta $r$, que es la intersección de $\pi_1$ y $\pi_2$. Los vectores normales de los planos son: $$\vec{n}_1 = (1, -1, 1), \quad \vec{n}_2 = (1, 1, 0)$$ El vector director de la recta $r$ se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolviendo el determinante por Sarrus: $$\vec{v}_r = [(-1)\cdot 0] \vec{i} + [1\cdot 1] \vec{j} + [1\cdot 1] \vec{k} - [(-1)\cdot 1 \vec{k} + 1\cdot 1 \vec{i} + 0\cdot 1 \vec{j}]$$ $$\vec{v}_r = (0\vec{i} + 1\vec{j} + 1\vec{k}) - (-\vec{k} + \vec{i} + 0\vec{j}) = -\vec{i} + \vec{j} + 2\vec{k}$$ $$\vec{v}_r = (-1, 1, 2)$$ Buscamos ahora un punto $A \in r$. Para ello, damos un valor a una de las coordenadas en el sistema formado por ambos planos. Si hacemos $x = 0$: $$\begin{cases} -y + z = 0 \\ y = 2 \end{cases} \implies y = 2, \, z = 2$$ Luego, el punto es $A(0, 2, 2)$. 💡 **Tip:** El vector director de la intersección de dos planos es siempre perpendicular a ambos vectores normales.

Para hallar la distancia del punto $P(2, 6, -2)$ a la recta $r$, utilizamos la fórmula: $$d(P, r) = \frac{|\vec{v}_r \times \vec{AP}|}{|\vec{v}_r|}$$ Primero calculamos el vector $\vec{AP}$: $$\vec{AP} = P - A = (2 - 0, 6 - 2, -2 - 2) = (2, 4, -4)$$ Calculamos ahora el producto vectorial $\vec{v}_r \times \vec{AP}$: $$\vec{v}_r \times \vec{AP} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & -4 \end{vmatrix}$$ Desarrollando el determinante: $$\vec{v}_r \times \vec{AP} = [1\cdot(-4)]\vec{i} + [2\cdot 2]\vec{j} + [(-1)\cdot 4]\vec{k} - [1\cdot 2\vec{k} + 4\cdot 2\vec{i} + (-4)\cdot(-1)\vec{j}]$$ $$\vec{v}_r \times \vec{AP} = (-4\vec{i} + 4\vec{j} - 4\vec{k}) - (2\vec{k} + 8\vec{i} + 4\vec{j}) = -12\vec{i} + 0\vec{j} - 6\vec{k}$$ $$\vec{v}_r \times \vec{AP} = (-12, 0, -6)$$ Calculamos los módulos necesarios: $$|\vec{v}_r \times \vec{AP}| = \sqrt{(-12)^2 + 0^2 + (-6)^2} = \sqrt{144 + 36} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$$ $$|\vec{v}_r| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$$ Finalmente: $$d(P, r) = \frac{\sqrt{180}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{180}{6}} = \sqrt{30} \approx 5,47 \text{ u.}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(P, r) = \sqrt{30} \text{ unidades}}$$

**b) [1 punto] Halla el ángulo que forman $\pi_1$ y $\pi_2$.** El ángulo $\alpha$ que forman dos planos es el mismo que forman sus vectores normales $\vec{n}_1$ y $\vec{n}_2$. Utilizamos la fórmula del producto escalar: $$\cos \alpha = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|}$$ Tenemos los vectores: $$\vec{n}_1 = (1, -1, 1), \quad \vec{n}_2 = (1, 1, 0)$$ Calculamos el producto escalar: $$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (1)(1) + (-1)(1) + (1)(0) = 1 - 1 + 0 = 0$$ Como el producto escalar es cero, los vectores son perpendiculares, lo que implica que los planos son perpendiculares. $$\cos \alpha = \frac{0}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|} = 0 \implies \alpha = \arccos(0) = 90^\circ$$ 💡 **Tip:** Si el producto escalar de los vectores normales es cero, no es necesario calcular sus módulos; el ángulo siempre será de $90^\circ$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = 90^\circ}$$