Álgebra 2023 Andalucia
Sistema de ecuaciones lineales: Compra de bebidas
**EJERCICIO 6. (2,5 puntos)**
El dueño de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino por un importe de 500 euros sin incluir impuestos. El gasto en vino es 60 euros menos que los gastos en refrescos y cerveza conjuntamente, sin incluir impuestos. Teniendo en cuenta que los impuestos de los refrescos, la cerveza y el vino son el $6\%$, el $12\%$ y el $30\%$, respectivamente, entonces el importe total de la factura incluyendo impuestos ha ascendido a 592,4 euros. Calcula el importe, incluyendo impuestos, invertido en cada una de las bebidas.
Paso 1
Definición de variables y planteamiento del sistema
Para resolver el problema, primero definimos las variables que representan los importes **sin impuestos** de cada producto:
- $x$: importe invertido en refrescos (en euros).
- $y$: importe invertido en cerveza (en euros).
- $z$: importe invertido en vino (en euros).
A partir del enunciado, traducimos las condiciones a ecuaciones:
1. El importe total sin impuestos es de 500 €:
$$x + y + z = 500$$
2. El gasto en vino es 60 € menos que los refrescos y cerveza juntos:
$$z = (x + y) - 60 \implies x + y - z = 60$$
3. El importe total con impuestos es 592,4 €. Aplicamos los porcentajes ($1 + \text{tasa}$):
$$1,06x + 1,12y + 1,30z = 592,4$$
💡 **Tip:** Recuerda que para aplicar un impuesto del $n\%$, multiplicamos la base por $(1 + n/100)$. Por ejemplo, el $6\%$ de impuestos se traduce en multiplicar por $1,06$.
Paso 2
Resolución del sistema: Cálculo del gasto en vino (z)
Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
$$\begin{cases} x + y + z = 500 & \text{(I)} \\ x + y - z = 60 & \text{(II)} \\ 1,06x + 1,12y + 1,30z = 592,4 & \text{(III)} \end{cases}$$
Podemos obtener $z$ de forma rápida restando la ecuación (II) a la (I):
$$(x + y + z) - (x + y - z) = 500 - 60$$
$$2z = 440$$
$$z = \frac{440}{2} = 220$$
El gasto en vino sin impuestos es de **220 €**.
Paso 3
Resolución del sistema: Cálculo de refrescos (x) y cerveza (y)
Sustituimos $z = 220$ en las ecuaciones (I) y (III) para obtener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
De la ecuación (I):
$$x + y + 220 = 500 \implies x + y = 280 \implies y = 280 - x$$
De la ecuación (III):
$$1,06x + 1,12y + 1,30(220) = 592,4$$
$$1,06x + 1,12y + 286 = 592,4$$
$$1,06x + 1,12y = 306,4$$
Sustituimos $y = 280 - x$ en esta última ecuación:
$$1,06x + 1,12(280 - x) = 306,4$$
$$1,06x + 313,6 - 1,12x = 306,4$$
$$-0,06x = 306,4 - 313,6$$
$$-0,06x = -7,2$$
$$x = \frac{-7,2}{-0,06} = 120$$
Ahora calculamos $y$:
$$y = 280 - 120 = 160$$
💡 **Tip:** En sistemas de tres ecuaciones, busca siempre si al sumar o restar dos de ellas se eliminan dos incógnitas a la vez, como ha ocurrido en el paso anterior con $x$ e $y$.
Paso 4
Cálculo de los importes finales con impuestos
El enunciado nos pide el importe invertido en cada bebida **incluyendo impuestos**. Calculamos cada uno:
- **Refrescos ($6\%$ impuesto):**
$$1,06 \cdot 120 = 127,2 \text{ €}$$
- **Cerveza ($12\%$ impuesto):**
$$1,12 \cdot 160 = 179,2 \text{ €}$$
- **Vino ($30\%$ impuesto):**
$$1,30 \cdot 220 = 286 \text{ €}$$
Comprobación final:
$$127,2 + 179,2 + 286 = 592,4 \text{ €}$$
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{\begin{aligned} \text{Refrescos: } & 127,2 \text{ €} \\ \text{Cerveza: } & 179,2 \text{ €} \\ \text{Vino: } & 286,0 \text{ €} \end{aligned}}$$