Invertibilidad y ecuaciones matriciales

**a) [1 punto] Halla los valores de $m$ para que la matriz $A - mI$ no tenga inversa.** Una matriz cuadrada no tiene inversa si y solo si su determinante es igual a cero. En primer lugar, escribimos la matriz $A - mI$: $$A - mI = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} - m \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-m & 1 & 1 \\ 1 & 1-m & 1 \\ 1 & 1 & 1-m \end{pmatrix}$$ Queremos hallar $m$ tal que $|A - mI| = 0$. 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz $M$ es regular (tiene inversa) si $|M| \neq 0$ y es singular (no tiene inversa) si $|M| = 0$.

Calculamos el determinante de la matriz resultante utilizando la regla de Sarrus: $$|A - mI| = \begin{vmatrix} 1-m & 1 & 1 \\ 1 & 1-m & 1 \\ 1 & 1 & 1-m \end{vmatrix}$$ $$|A - mI| = (1-m)^3 + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1 - [1 \cdot (1-m) \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot (1-m) + (1-m) \cdot 1 \cdot 1]$$ Simplificamos la expresión: $$|A - mI| = (1-m)^3 + 2 - 3(1-m)$$ Desarrollamos el cubo del binomio $(1-m)^3 = 1 - 3m + 3m^2 - m^3$: $$|A - mI| = 1 - 3m + 3m^2 - m^3 + 2 - 3 + 3m$$ $$|A - mI| = -m^3 + 3m^2$$ 💡 **Tip:** Para evitar desarrollar el cubo, también podrías haber sacado factor común $(1-m)$ tras operar con filas y columnas, pero el desarrollo directo es igualmente válido.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $m$ que hacen que la matriz no sea invertible: $$-m^3 + 3m^2 = 0$$ Factorizamos la ecuación: $$m^2(-m + 3) = 0$$ Esto nos da dos soluciones posibles: 1. $m^2 = 0 \implies m = 0$ 2. $-m + 3 = 0 \implies m = 3$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = 0, \quad m = 3}$$

**b) [1,5 puntos] Halla $x$, distinto de cero, para que $A - xI$ sea la inversa de la matriz $\frac{1}{x}(A - I)$.** Por definición, si una matriz $B$ es la inversa de una matriz $C$, entonces su producto debe ser la matriz identidad: $B \cdot C = I$. En nuestro caso: $$(A - xI) \cdot \left[ \frac{1}{x}(A - I) \right] = I$$ Como $\frac{1}{x}$ es un escalar, podemos reescribir la ecuación como: $$\frac{1}{x} (A - xI)(A - I) = I$$ Multiplicamos ambos miembros por $x$ (ya que el enunciado indica que $x \neq 0$): $$(A - xI)(A - I) = xI$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto de una matriz por su inversa es siempre la identidad, $M \cdot M^{-1} = I$.

Desarrollamos el producto de los paréntesis en el miembro de la izquierda: $$A \cdot A - A \cdot I - xI \cdot A + xI \cdot I = xI$$ Utilizando las propiedades de la matriz identidad ($A \cdot I = A$ y $I \cdot I = I$): $$A^2 - A - xA + xI = xI$$ Restamos $xI$ en ambos lados de la ecuación: $$A^2 - A - xA = 0$$ $$A^2 - (1 + x)A = 0$$ Esto implica que: $$A^2 = (1 + x)A$$

Calculamos $A^2$ para la matriz dada: $$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix} = 3A$$ Sustituimos $A^2 = 3A$ en nuestra ecuación: $$3A = (1 + x)A$$ Para que esta igualdad se cumpla (siendo $A$ una matriz no nula), los coeficientes deben ser iguales: $$3 = 1 + x$$ $$x = 2$$ Como $x=2$ es distinto de cero, cumple la condición del enunciado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 2}$$