Área entre una parábola y una función racional

**a) Esboza las gráficas de ambas funciones y calcula sus puntos de corte.** Primero, analizamos las características principales de cada función: 1. **Función $f(x) = 5 - x^2$**: - Es una función polinómica de segundo grado (parábola). - Como el coeficiente de $x^2$ es negativo, abre hacia abajo (cóncava). - Su vértice está en $(0, 5)$. - Es una función par ($f(x) = f(-x)$), por lo que es simétrica respecto al eje $Y$. 2. **Función $g(x) = \frac{4}{x^2}$**: - Es una función racional definida para todo $x \neq 0$. - Siempre es positiva ($g(x) \gt 0$) para cualquier $x$ de su dominio. - Tiene una **asíntota vertical** en $x = 0$ ya que $\lim_{x \to 0} g(x) = +\infty$. - Tiene una **asíntota horizontal** en $y = 0$ ya que $\lim_{x \to \pm\infty} g(x) = 0$. - También es una función par, simétrica respecto al eje $Y$. 💡 **Tip:** Identificar la simetría de las funciones nos facilitará mucho el cálculo de áreas en el apartado posterior.

Para hallar los puntos donde se cortan, igualamos ambas expresiones: $$5 - x^2 = \frac{4}{x^2}$$ Multiplicamos toda la ecuación por $x^2$ (asumiendo $x \neq 0$): $$5x^2 - x^4 = 4 \implies x^4 - 5x^2 + 4 = 0$$ Esta es una **ecuación bicuadrada**. Realizamos el cambio de variable $u = x^2$: $$u^2 - 5u + 4 = 0$$ Resolvemos mediante la fórmula general o factorizando: $$(u - 1)(u - 4) = 0 \implies u_1 = 1, \quad u_2 = 4$$ Deshacemos el cambio de variable: - Si $x^2 = 1 \implies x = \pm 1$. Las ordenadas son $f(1) = 5 - 1^2 = 4$. - Si $x^2 = 4 \implies x = \pm 2$. Las ordenadas son $f(2) = 5 - 2^2 = 1$. Los **puntos de corte** son: $$\boxed{(-2, 1), (-1, 4), (1, 4) \text{ y } (2, 1)}$$

Utilizando los puntos de corte y el análisis previo, representamos las funciones. La parábola queda por encima de la función racional en los intervalos donde se encierran los recintos.

**b) Calcula la suma de las áreas de los recintos limitados por las gráficas de ambas funciones.** Observando los puntos de corte, existen dos recintos cerrados: 1. Entre $x = -2$ y $x = -1$. 2. Entre $x = 1$ y $x = 2$. Debido a que ambas funciones son pares (simétricas respecto al eje $Y$), los dos recintos tienen la misma área. Por tanto: $$\text{Área Total} = 2 \cdot \int_{1}^{2} [f(x) - g(x)] \, dx$$ Comprobamos qué función está por encima en $(1, 2)$ tomando $x = 1,5$: - $f(1,5) = 5 - 2,25 = 2,75$ - $g(1,5) = 4 / 2,25 \approx 1,78$ Como $f(x) \gt g(x)$, la integral está bien planteada. $$\text{Área del recinto } A_1 = \int_{1}^{2} \left( 5 - x^2 - \frac{4}{x^2} \right) \, dx$$

Calculamos primero la integral indefinida: $$\int (5 - x^2 - 4x^{-2}) \, dx = 5x - \frac{x^3}{3} + \frac{4}{x}$$ Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** en el intervalo $[1, 2]$: $$A_1 = \left[ 5x - \frac{x^3}{3} + \frac{4}{x} \right]_{1}^{2}$$ $$A_1 = \left( 5(2) - \frac{2^3}{3} + \frac{4}{2} \right) - \left( 5(1) - \frac{1^3}{3} + \frac{4}{1} \right)$$ $$A_1 = \left( 10 - \frac{8}{3} + 2 \right) - \left( 5 - \frac{1}{3} + 4 \right)$$ $$A_1 = \left( 12 - \frac{8}{3} \right) - \left( 9 - \frac{1}{3} \right) = \frac{28}{3} - \frac{26}{3} = \frac{2}{3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$. Para la fracción $\frac{4}{x^2}$, se escribe como $4x^{-2}$ y su integral es $\frac{4x^{-1}}{-1} = -\frac{4}{x}$.

Como habíamos establecido por simetría, el área total es el doble de un recinto: $$\text{Área Total} = 2 \cdot A_1 = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{4}{3} \text{ unidades de área}}$$