Cálculo de un parámetro en una integral definida

Para resolver la ecuación, primero necesitamos calcular la integral indefinida: $$\int \frac{\ln(x)}{x} dx$$ Observamos que la función es un producto de la forma $f(x) \cdot f'(x)$, donde $f(x) = \ln(x)$ y su derivada es $f'(x) = \frac{1}{x}$. Se trata, por tanto, de una integral inmediata de tipo potencial: $$\int [f(x)]^n f'(x) dx = \frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1} + C$$ En nuestro caso, $n=1$, por lo que: $$\int \frac{\ln(x)}{x} dx = \int \ln(x) \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{(\ln(x))^2}{2} + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \frac{\ln(x)}{x} dx$ es una de las integrales inmediatas más comunes en selectividad. Siempre busca si una parte de la función es la derivada de la otra. $$\boxed{\int \frac{\ln(x)}{x} dx = \frac{\ln^2(x)}{2} + C}$$

Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** para evaluar la integral definida en el intervalo $[a, 1]$: $$\int_{a}^{1} \frac{\ln(x)}{x} dx = \left[ \frac{\ln^2(x)}{2} \right]_{a}^{1}$$ Sustituimos los límites de integración (superior menos inferior): $$\left[ \frac{\ln^2(x)}{2} \right]_{a}^{1} = \frac{\ln^2(1)}{2} - \frac{\ln^2(a)}{2}$$ Sabemos que el logaritmo neperiano de $1$ es cero ($\ln(1) = 0$): $$\frac{0^2}{2} - \frac{\ln^2(a)}{2} = -\frac{\ln^2(a)}{2}$$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow establece que $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, donde $F$ es una primitiva de $f$. $$\boxed{\int_{a}^{1} \frac{\ln(x)}{x} dx = -\frac{\ln^2(a)}{2}}$$

Sustituimos el resultado de la integral en la ecuación original del enunciado: $$-\frac{\ln^2(a)}{2} + 2 = 0$$ Despejamos el término con el logaritmo: $$-\frac{\ln^2(a)}{2} = -2$$ $$\ln^2(a) = 4$$ Para eliminar el cuadrado, aplicamos la raíz cuadrada en ambos lados, obteniendo dos posibles soluciones para $\ln(a)$: $$\ln(a) = 2 \quad \text{o} \quad \ln(a) = -2$$ Ahora, despejamos $a$ usando la definición de logaritmo ($e^y = x$): 1. Si $\ln(a) = 2 \implies a = e^2$ 2. Si $\ln(a) = -2 \implies a = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$

El enunciado impone la condición $0 \lt a \lt 1$. Analizamos los dos valores obtenidos: - $a = e^2 \approx 7,389$. Este valor es mayor que 1, por lo que **no cumple** la condición. - $a = e^{-2} = \frac{1}{e^2} \approx 0,135$. Este valor está entre 0 y 1, por lo que **sí cumple** la condición. Por tanto, el único valor de $a$ válido es $e^{-2}$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = e^{-2}}$$