Extremos relativos y absolutos de una función logarítmica

**a) [1,25 puntos] Calcula, si existen, sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).** Para hallar los extremos relativos, primero calculamos la derivada de la función $f(x) = x (\ln x)^2$ utilizando la regla del producto y la regla de la cadena para el término logarítmico. $$f'(x) = (x)' \cdot (\ln x)^2 + x \cdot \left[ (\ln x)^2 \right]'$$ $$f'(x) = 1 \cdot (\ln x)^2 + x \cdot \left( 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} \right)$$ $$f'(x) = (\ln x)^2 + 2 \ln x$$ Podemos expresar la derivada de forma factorizada para facilitar el cálculo de las raíces: $$f'(x) = \ln x (\ln x + 2)$$ 💡 **Recuerda:** La regla del producto es $(u \cdot v)' = u'v + uv'$ y la derivada de una potencia de una función es $[g(x)^n]' = n \cdot g(x)^{n-1} \cdot g'(x)$.

Igualamos la primera derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$f'(x) = 0 \Rightarrow \ln x (\ln x + 2) = 0$$ Esto genera dos ecuaciones posibles: 1. $\ln x = 0 \Rightarrow x = e^0 \Rightarrow x = 1$ 2. $\ln x + 2 = 0 \Rightarrow \ln x = -2 \Rightarrow x = e^{-2} = \dfrac{1}{e^2}$ Ambos valores, $x = 1$ y $x = \frac{1}{e^2}$, pertenecen al dominio de la función $(0, +\infty)$. $$\boxed{x_1 = 1, \quad x_2 = \dfrac{1}{e^2}}$$

Para clasificar los extremos, analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (0, e^{-2}) & e^{-2} & (e^{-2}, 1) & 1 & (1, +\infty)\\ \hline \ln x & - & - & - & 0 & + \\ \ln x + 2 & - & 0 & + & + & + \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \text{Crecimiento} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ También podemos usar la segunda derivada $f''(x)$: $$f''(x) = \left( (\ln x)^2 + 2 \ln x \right)' = 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} + \frac{2}{x} = \frac{2}{x} (\ln x + 1)$$ * Para $x = 1$: $f''(1) = \frac{2}{1} (0 + 1) = 2 \gt 0 \Rightarrow$ **Mínimo relativo**. * Para $x = e^{-2}$: $f''(e^{-2}) = \frac{2}{e^{-2}} (-2 + 1) = -2e^2 \lt 0 \Rightarrow$ **Máximo relativo**. 💡 **Tip:** Si $f''(a) \gt 0$, hay un mínimo en $a$. Si $f''(a) \lt 0$, hay un máximo en $a$.

Calculamos las ordenadas $y$ sustituyendo en $f(x)$: * **Mínimo relativo:** $x = 1 \Rightarrow f(1) = 1 \cdot (\ln 1)^2 = 1 \cdot 0^2 = 0$ * **Máximo relativo:** $x = e^{-2} \Rightarrow f(e^{-2}) = e^{-2} \cdot (\ln e^{-2})^2 = e^{-2} \cdot (-2)^2 = \dfrac{4}{e^2}$ ✅ **Resultado (Extremos relativos):** $$\boxed{\text{Mínimo relativo en } (1, 0) \text{ y Máximo relativo en } \left(e^{-2}, \dfrac{4}{e^2}\right)}$$

**b) [1,25 puntos] Calcula, si existen, sus extremos absolutos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).** Estudiamos el límite cuando $x \rightarrow 0^+$ para ver si la función está acotada inferiormente. Es una indeterminación del tipo $0 \cdot \infty$: $$\lim_{x \to 0^+} x (\ln x)^2 = \lim_{x \to 0^2} \frac{(\ln x)^2}{1/x}$$ Aplicamos la regla de L'Hôpital (indeterminación $\infty/\infty$): $$\lim_{x \to 0^+} \frac{2 \ln x \cdot (1/x)}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+} \frac{2 \ln x}{-1/x}$$ Aplicamos L'Hôpital de nuevo: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{2/x}{1/x^2} = \lim_{x \to 0^+} 2x = 0$$ La función tiende a $0$ por la derecha pero nunca alcanza el valor negativo, ya que $x \gt 0$ y $(\ln x)^2 \ge 0$.

Estudiamos el límite cuando $x \rightarrow +\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} x (\ln x)^2 = (+\infty) \cdot (+\infty)^2 = +\infty$$ **Análisis para extremos absolutos:** 1. Como $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$, la función no tiene cota superior. Por tanto, **no existe máximo absoluto**. 2. La función es siempre no negativa ($f(x) \ge 0$) en su dominio $(0, +\infty)$. Dado que hemos encontrado un punto donde el valor es exactamente $0$ (el mínimo relativo en $x=1$), este valor es el más pequeño posible de la función. ✅ **Resultado (Extremos absolutos):** $$\boxed{\text{Mínimo absoluto en } x = 1 \text{ con valor } y = 0. \text{ No existe máximo absoluto.}}$$