Extremos de una función a trozos y recta tangente

**a) [2 puntos] Halla los extremos relativos y absolutos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).** Antes de calcular los extremos, debemos comprobar si la función es continua en todo su dominio $[-2, 2\pi]$, especialmente en el punto de salto $x=0$, ya que si no fuera continua, el análisis de extremos cambiaría. - **En el intervalo $[-2, 0)$:** $f(x) = 5x + 1$ es una función polinómica, por lo que es continua. - **En el intervalo $(0, 2\pi]$:** $f(x) = e^x \cos(x)$ es el producto de una exponencial y una trigonométrica, ambas continuas, por lo que su producto es continuo. - **En $x = 0$:** 1. $f(0) = 5(0) + 1 = 1$ 2. $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (5x + 1) = 1$ 3. $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (e^x \cos(x)) = e^0 \cos(0) = 1 \cdot 1 = 1$ Como $f(0) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$, la función es **continua en $x=0$** y, por tanto, en todo su dominio. 💡 **Tip:** Aunque el enunciado no pide explícitamente la continuidad, para hablar de extremos absolutos en un intervalo cerrado mediante el Teorema de Weierstrass, la función debe ser continua.

Para hallar los extremos relativos, derivamos la función en cada rama: $$f'(x) = \begin{cases} 5 & \text{si } -2 < x < 0 \\ e^x \cos(x) - e^x \sin(x) & \text{si } 0 < x < 2\pi \end{cases}$$ Simplificando la segunda rama: $f'(x) = e^x(\cos(x) - \sin(x))$. **Nota sobre la derivabilidad en $x=0$:** $f'(0^-) = 5$ $f'(0^+) = e^0(\cos 0 - \sin 0) = 1(1 - 0) = 1$ Como $f'(0^-) \neq f'(0^+)$, la función **no es derivable en $x=0$** (es un punto anguloso). Este punto será un candidato a extremo. Buscamos los puntos donde $f'(x) = 0$: - En $(-2, 0)$, $f'(x) = 5 \neq 0$. No hay puntos críticos aquí. - En $(0, 2\pi)$, $e^x(\cos(x) - \sin(x)) = 0$. Como $e^x > 0$, debe ser: $$\cos(x) - \sin(x) = 0 \implies \cos(x) = \sin(x) \implies \tan(x) = 1$$ En el intervalo $(0, 2\pi)$, esto ocurre en: $$x = \frac{\pi}{4} \quad \text{y} \quad x = \frac{5\pi}{4}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $e^x \cos(x)$ se hace por la regla del producto: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos y el punto donde no es derivable ($x=0$): $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} x & (-2, 0) & 0 & (0, \pi/4) & \pi/4 & (\pi/4, 5\pi/4) & 5\pi/4 & (5\pi/4, 2\pi) \\ \hline f'(x) & + & \nexists & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{cont.} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ - En $x = \pi/4$: $f'(x)$ pasa de $+$ a $-$. Hay un **máximo relativo**. - En $x = 5\pi/4$: $f'(x)$ pasa de $-$ a $+$. Hay un **mínimo relativo**. - En $x = 0$: $f'(x)$ es positiva a ambos lados, por lo que la función es creciente y no hay extremo relativo. Calculamos los valores de la función en estos puntos: - $f(\pi/4) = e^{\pi/4} \cos(\pi/4) = e^{\pi/4} \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 1,55$ - $f(5\pi/4) = e^{5\pi/4} \cos(5\pi/4) = e^{5\pi/4} \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \approx -33,99$ ✅ **Resultado (Extremos relativos):** $$\boxed{\text{Máx. relativo: } (\pi/4, \frac{\sqrt{2}}{2}e^{\pi/4}) \approx (0,79, 1,55); \text{ Mín. relativo: } (5\pi/4, -\frac{\sqrt{2}}{2}e^{5\pi/4}) \approx (3,93, -33,99)}$$

Para hallar los extremos absolutos en el intervalo cerrado $[-2, 2\pi]$, comparamos los valores en los extremos del intervalo y en los puntos críticos hallados: 1. Extremo inferior: $f(-2) = 5(-2) + 1 = -9$ 2. Punto crítico 1: $f(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2} e^{\pi/4} \approx 1,55$ 3. Punto crítico 2: $f(5\pi/4) = -\frac{\sqrt{2}}{2} e^{5\pi/4} \approx -33,99$ 4. Extremo superior: $f(2\pi) = e^{2\pi} \cos(2\pi) = e^{2\pi} \cdot 1 \approx 535,49$ Comparando los valores: - El valor más pequeño es $-33,99$, obtenido en $x = 5\pi/4$. - El valor más grande es $e^{2\pi} \approx 535,49$, obtenido en $x = 2\pi$. ✅ **Resultado (Extremos absolutos):** $$\boxed{\begin{aligned} & \text{Máximo absoluto: } x = 2\pi, \text{ valor } f(2\pi) = e^{2\pi} \\ & \text{Mínimo absoluto: } x = 5\pi/4, \text{ valor } f(5\pi/4) = -\frac{\sqrt{2}}{2}e^{5\pi/4} \end{aligned}}$$

**b) [0,5 puntos] Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = \dfrac{\pi}{2}$.** El punto $x = \pi/2$ pertenece a la segunda rama de la función ($0 < x \leq 2\pi$). 1. **Calculamos la ordenada del punto:** $$y_0 = f(\pi/2) = e^{\pi/2} \cos(\pi/2) = e^{\pi/2} \cdot 0 = 0$$ El punto de tangencia es $(\pi/2, 0)$. 2. **Calculamos la pendiente ($m$):** $f'(x) = e^x(\cos x - \sin x)$ $$m = f'(\pi/2) = e^{\pi/2}(\cos(\pi/2) - \sin(\pi/2)) = e^{\pi/2}(0 - 1) = -e^{\pi/2}$$ 3. **Ecuación de la recta tangente:** Usamos la fórmula $y - y_0 = m(x - x_0)$: $$y - 0 = -e^{\pi/2} \left(x - \frac{\pi}{2}\right)$$ $$y = -e^{\pi/2}x + \frac{\pi e^{\pi/2}}{2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la ecuación de la recta tangente en un punto $a$ es $y - f(a) = f'(a)(x - a)$. ✅ **Resultado (Recta tangente):** $$\boxed{y = -e^{\pi/2}\left(x - \frac{\pi}{2}\right)}$$