Geometría: Planos paralelos, rectas y distancias

**a) [1,5 puntos] Determina la ecuación del plano paralelo a $r$ que contiene a la recta $-x + 1 = y = \frac{z - 3}{2}$.** Primero, extraemos un punto y el vector director de la recta $s$. Para ello, reescribimos su ecuación en forma continua estándar: $$-x + 1 = y = \frac{z - 3}{2} \implies \frac{x - 1}{-1} = \frac{y - 0}{1} = \frac{z - 3}{2}$$ De aquí obtenemos: - Un punto de la recta: $P_s = (1, 0, 3)$ - El vector director de $s$: $\vec{v}_s = (-1, 1, 2)$ 💡 **Tip:** En la ecuación continua $\frac{x-x_0}{u_1} = \frac{y-y_0}{u_2} = \frac{z-z_0}{u_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(u_1, u_2, u_3)$. ¡Cuidado con los signos en el numerador!

La recta $r$ viene dada como intersección de dos planos. Su vector director $\vec{v}_r$ se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos: $\vec{n}_1 = (1, -1, 1)$ y $\vec{n}_2 = (3, 0, -2)$. $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 0 & -2 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por la regla de Sarrus: $$\vec{v}_r = \vec{i}[(-1)(-2) - (0)(1)] - \vec{j}[(1)(-2) - (3)(1)] + \vec{k}[(1)(0) - (3)(-1)]$$ $$\vec{v}_r = \vec{i}(2) - \vec{j}(-5) + \vec{k}(3) = (2, 5, 3)$$ $$\boxed{\vec{v}_r = (2, 5, 3)}$$

El plano $\pi'$ que buscamos debe contener a $s$ y ser paralelo a $r$. Por tanto, sus vectores directores serán $\vec{v}_s$ y $\vec{v}_r$. El vector normal del plano $\vec{n}_{\pi'}$ se obtiene con su producto vectorial: $$\vec{n}_{\pi'} = \vec{v}_s \times \vec{v}_r = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & 2 \\ 2 & 5 & 3 \end{vmatrix}$$ Aplicamos Sarrus: $$\vec{n}_{\pi'} = \vec{i}[(1)(3) - (5)(2)] - \vec{j}[(-1)(3) - (2)(2)] + \vec{k}[(-1)(5) - (2)(1)]$$ $$\vec{n}_{\pi'} = \vec{i}(3-10) - \vec{j}(-3-4) + \vec{k}(-5-2)$$ $$\vec{n}_{\pi'} = -7\vec{i} + 7\vec{j} - 7\vec{k} = (-7, 7, -7)$$ Para simplificar los cálculos, podemos usar un vector proporcional: $\vec{n}_{\pi'} = (1, -1, 1)$. 💡 **Tip:** El vector normal es perpendicular a cualquier vector contenido en el plano.

La ecuación del plano tiene la forma $x - y + z + D = 0$. Como el plano contiene a la recta $s$, debe contener al punto $P_s(1, 0, 3)$: $$1 - 0 + 3 + D = 0 \implies 4 + D = 0 \implies D = -4$$ La ecuación del plano es: $$\boxed{x - y + z - 4 = 0}$$

**b) [1 punto] Calcula la distancia entre la recta $r$ y el plano $2x + 5y + 3z = 41$.** Para calcular la distancia entre una recta y un plano, primero debemos comprobar su posición relativa. - Vector director de $r$: $\vec{v}_r = (2, 5, 3)$ - Vector normal del plano $\pi$: $\vec{n}_\pi = (2, 5, 3)$ Calculamos el producto escalar $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi$: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = (2)(2) + (5)(5) + (3)(3) = 4 + 25 + 9 = 38$$ Como el producto escalar **no es cero**, el vector director de la recta no es perpendicular al normal del plano. Esto significa que la recta **no es paralela** al plano ni está contenida en él. 💡 **Tip:** Si $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi \neq 0$, la recta y el plano se cortan en un punto.

Dado que hemos comprobado que la recta $r$ y el plano $\pi$ se cortan en un punto (son secantes), la distancia mínima entre ambos objetos es nula. Para ser más precisos, como existe un punto $P$ tal que $P \in r$ y $P \in \pi$: $$d(r, \pi) = 0$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{d(r, \pi) = 0}$$