Equidistancia de puntos de una recta a planos coordenados

**Halla los puntos de la recta $r$ que son equidistantes de los planos $OYZ$ y $OXZ$.** Primero, debemos recordar las ecuaciones implícitas de los planos coordenados: - El plano $OYZ$ es el conjunto de puntos donde la coordenada $x$ es nula: $\pi_1 \equiv x = 0$. - El plano $OXZ$ es el conjunto de puntos donde la coordenada $y$ es nula: $\pi_2 \equiv y = 0$. La distancia de un punto genérico $P(x, y, z)$ a un plano $\pi \equiv Ax + By + Cz + D = 0$ viene dada por: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax + By + Cz + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ En nuestro caso: - $d(P, OYZ) = \frac{|1\cdot x|}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}} = |x|$ - $d(P, OXZ) = \frac{|1\cdot y|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}} = |y|$ 💡 **Tip:** Los planos coordenados tienen ecuaciones muy sencillas; la distancia de un punto a ellos es simplemente el valor absoluto de la coordenada que falta en el nombre del plano.

Para que un punto $P$ de la recta sea equidistante de ambos planos, se debe cumplir que: $$d(P, OYZ) = d(P, OXZ) \implies |x| = |y|$$ Esta igualdad con valores absolutos genera dos escenarios posibles que debemos estudiar por separado: 1. **Caso 1:** $x = y$ 2. **Caso 2:** $x = -y$ Cualquier punto que pertenezca a la recta $r$ y cumpla una de estas dos condiciones será una solución al problema.

Sustituimos la condición $x = y$ en las ecuaciones que definen la recta $r$: 1) De la segunda ecuación de la recta: $$x + 3y - 1 = 0 \implies y + 3y - 1 = 0 \implies 4y = 1 \implies y = \frac{1}{4}$$ Como en este caso $x = y$, entonces $x = \frac{1}{4}$. 2) Sustituimos ambos valores en la primera ecuación para hallar $z$: $$x - y + z = 0 \implies \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + z = 0 \implies z = 0$$ Por lo tanto, el primer punto es: $$\boxed{P_1 = \left(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, 0\right)}$$

Sustituimos la condición $x = -y$ en las ecuaciones de la recta $r$: 1) De la segunda ecuación de la recta: $$x + 3y - 1 = 0 \implies -y + 3y - 1 = 0 \implies 2y = 1 \implies y = \frac{1}{2}$$ Como en este caso $x = -y$, entonces $x = -\frac{1}{2}$. 2) Sustituimos $x$ e $y$ en la primera ecuación para obtener $z$: $$x - y + z = 0 \implies -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + z = 0 \implies -1 + z = 0 \implies z = 1$$ Por lo tanto, el segundo punto es: $$\boxed{P_2 = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1\right)}$$

Los puntos de la recta $r$ que equidistan de los planos $OYZ$ y $OXZ$ son aquellos que satisfacen el sistema de ecuaciones de la recta junto con la condición $|x|=|y|$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P_1 = \left(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, 0\right) \quad \text{y} \quad P_2 = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1\right)}$$