Sistema de ecuaciones: Reparto de series por géneros

Lo primero es identificar las incógnitas que nos pide el problema. Definimos las variables según los géneros de las series: * $x$: número de series de **animación**. * $y$: número de series de **ciencia ficción**. * $z$: número de series de **comedia**. El número total de series, que llamaremos $T$, es la suma de las tres: $$T = x + y + z$$ 💡 **Tip:** Definir claramente las variables y el total es fundamental para traducir el lenguaje natural a lenguaje algebraico de forma correcta.

A partir del enunciado, traducimos cada condición a una ecuación matemática: 1. **"el 30 % de las de animación más el 50 % de las de ciencia ficción coincide con el 20 % del total"**: $$0,30x + 0,50y = 0,20(x + y + z)$$ 2. **"El 25 % de las de animación más el 50 % de las de ciencia ficción más el 60 % de las de comedia representan la mitad del total"**: $$0,25x + 0,50y + 0,60z = 0,50(x + y + z)$$ 3. **"Hay 100 series menos de animación que de ciencia ficción"**: $$x = y - 100 \implies y = x + 100$$ 💡 **Tip:** Recuerda que un porcentaje se expresa en decimal dividiendo por 100 (ej. $30\% = 0,30$).

Simplificamos las ecuaciones para obtener un sistema lineal estándar. **De la ecuación (1):** $$0,3x + 0,5y = 0,2x + 0,2y + 0,2z$$ Agrupamos términos: $(0,3 - 0,2)x + (0,5 - 0,2)y - 0,2z = 0$ $$0,1x + 0,3y - 0,2z = 0$$ Multiplicando por 10 para eliminar decimales: $$\boxed{x + 3y - 2z = 0 \quad \text{--- (Ec. I)}}$$ **De la ecuación (2):** $$0,25x + 0,5y + 0,6z = 0,5x + 0,5y + 0,5z$$ Restamos $0,5y$ en ambos lados y agrupamos: $$0,6z - 0,5z = 0,5x - 0,25x$$ $$0,1z = 0,25x \implies z = \frac{0,25}{0,1}x$$ $$\boxed{z = 2,5x \quad \text{--- (Ec. II)}}$$ 💡 **Tip:** Siempre que tengas decimales en un sistema, busca un factor multiplicador (como 10 o 100) para trabajar con números enteros, es mucho más sencillo y evita errores.

Utilizamos las relaciones obtenidas para resolver el sistema. Tenemos: * $y = x + 100$ (de la condición 3) * $z = 2,5x$ (de la Ec. II) Sustituimos ambas expresiones en la **Ec. I** ($x + 3y - 2z = 0$): $$x + 3(x + 100) - 2(2,5x) = 0$$ Resolvemos la ecuación de primer grado: $$x + 3x + 300 - 5x = 0$$ $$(1 + 3 - 5)x + 300 = 0$$ $$-x + 300 = 0 \implies \boxed{x = 300}$$ 💡 **Tip:** El método de sustitución es ideal cuando ya tenemos variables despejadas en función de una sola, en este caso, de $x$.

Ahora que conocemos $x = 300$, calculamos el valor de las otras dos variables: * **Ciencia ficción ($y$):** $$y = x + 100 = 300 + 100 = 400$$ * **Comedia ($z$):** $$z = 2,5 \cdot 300 = 750$$ El número de series de cada género es: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Animación: } 300 \text{ series} \\ \text{Ciencia ficción: } 400 \text{ series} \\ \text{Comedia: } 750 \text{ series} \end{cases}}$$