Ecuación matricial con traspuesta e inversa

**EJERCICIO 5. (2,5 puntos) Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -2 \\ -2 & 3 & 1 \\ 6 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ -3 & -1 & 5 \end{pmatrix}$, calcula, si es posible, la matriz $X$ que verifica la ecuación $3X - B^t = AX$, siendo $B^t$ la matriz traspuesta de $B$.** Primero, debemos aislar el término que contiene la incógnita $X$. Operamos en la ecuación: $$3X - B^t = AX \implies 3X - AX = B^t$$ Para extraer factor común $X$, debemos recordar que el escalar $3$ debe ir acompañado de la matriz identidad $I$ para que la operación tenga sentido entre matrices: $$(3I - A)X = B^t$$ Si llamamos $C = 3I - A$, la ecuación queda como $CX = B^t$. Para resolverla, multiplicaremos por la izquierda por la inversa de $C$ (si existe): $$X = (3I - A)^{-1} \cdot B^t$$ 💡 **Tip:** Al extraer factor común en matrices, el orden importa. Como $X$ multiplica por la derecha en ambos términos ($3X$ y $AX$), se extrae por la derecha: $(3I-A)X$.

Calculamos la matriz $C = 3I - A$: $$3I = 3\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$ $$C = 3I - A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & -1 & -2 \\ -2 & 3 & 1 \\ 6 & 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-2 & 0-(-1) & 0-(-2) \\ 0-(-2) & 3-3 & 0-1 \\ 0-6 & 0-1 & 3-3 \end{pmatrix}$$ $$\mathbf{C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & -1 \\ -6 & -1 & 0 \end{pmatrix}}$$

Para que la matriz $C$ tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero. Calculamos $|C|$ usando la regla de Sarrus: $$|C| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & -1 \\ -6 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$ $$|C| = (1 \cdot 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) \cdot (-6) + 2 \cdot 2 \cdot (-1)) - ((-6) \cdot 0 \cdot 2 + (-1) \cdot (-1) \cdot 1 + 0 \cdot 2 \cdot 1)$$ $$|C| = (0 + 6 - 4) - (0 + 1 + 0) = 2 - 1 = 1$$ Como **$|C| = 1 \neq 0$**, la matriz $C$ es invertible y por tanto **existe la matriz X**. 💡 **Tip:** Si el determinante fuera 0, la ecuación no tendría una solución única para $X$ o no tendría solución.

Calculamos $C^{-1} = \frac{1}{|C|} (\text{Adj}(C))^t$. Hallamos los adjuntos de los elementos de $C$: $C_{11} = +\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = -1; \quad C_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -6 & 0 \end{vmatrix} = 6; \quad C_{13} = +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -6 & -1 \end{vmatrix} = -2$ $C_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = -2; \quad C_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -6 & 0 \end{vmatrix} = 12; \quad C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -6 & -1 \end{vmatrix} = -5$ $C_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -1; \quad C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 5; \quad C_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -2$ La matriz adjunta es $\text{Adj}(C) = \begin{pmatrix} -1 & 6 & -2 \\ -2 & 12 & -5 \\ -1 & 5 & -2 \end{pmatrix}$. La traspuesta de la adjunta es $(\text{Adj}(C))^t = \begin{pmatrix} -1 & -2 & -1 \\ 6 & 12 & 5 \\ -2 & -5 & -2 \end{pmatrix}$. Como $|C|=1$, entonces: $$\mathbf{C^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & -2 & -1 \\ 6 & 12 & 5 \\ -2 & -5 & -2 \end{pmatrix}}$$

La matriz traspuesta $B^t$ se obtiene intercambiando las filas por columnas de $B$: $$B = \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ -3 & -1 & 5 \end{pmatrix} \implies \mathbf{B^t = \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 0 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}}$$

Finalmente, calculamos $X = C^{-1} \cdot B^t$: $$X = \begin{pmatrix} -1 & -2 & -1 \\ 6 & 12 & 5 \\ -2 & -5 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 0 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} (-1)(-1)+(-2)(0)+(-1)(-1) & (-1)(-3)+(-2)(-1)+(-1)(5) \\ (6)(-1)+(12)(0)+(5)(-1) & (6)(-3)+(12)(-1)+(5)(5) \\ (-2)(-1)+(-5)(0)+(-2)(-1) & (-2)(-3)+(-5)(-1)+(-2)(5) \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 1+0+1 & 3+2-5 \\ -6+0-5 & -18-12+25 \\ 2+0+2 & 6+5-10 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -11 & -5 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}}$$