Área de un recinto limitado por una función logarítmica

**Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $f$, el eje de abscisas y la recta $x = e - 1$.** El área solicitada viene delimitada por: 1. La función $f(x) = \ln(x+1)$. 2. El eje de abscisas (recta $y = 0$). 3. La recta vertical $x = e - 1$. Para determinar el intervalo de integración, buscamos primero el punto de corte de la función con el eje $X$ ($y=0$): $$\ln(x + 1) = 0 \implies x + 1 = e^0 \implies x + 1 = 1 \implies x = 0$$ Como el recinto está limitado por $x = 0$ y $x = e - 1$, el intervalo de integración es $[0, e - 1]$. Además, para cualquier $x \in (0, e-1)$, se cumple que $x+1 \gt 1$, por lo que $f(x) = \ln(x+1) \gt 0$. La función es positiva en todo el intervalo. El área $A$ se define como: $$A = \int_{0}^{e-1} \ln(x + 1) \, dx$$

Para resolver la integral $\int \ln(x+1) \, dx$, utilizaremos el método de **integración por partes**. 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Elegimos las variables: - $u = \ln(x+1) \implies du = \dfrac{1}{x+1} dx$ - $dv = dx \implies v = x$ Aplicando la fórmula: $$\int \ln(x+1) \, dx = x \ln(x+1) - \int \frac{x}{x+1} \, dx$$ Para resolver la integral restante, realizamos un ajuste en el numerador: $$\int \frac{x}{x+1} \, dx = \int \frac{x+1-1}{x+1} \, dx = \int \left( \frac{x+1}{x+1} - \frac{1}{x+1} \right) dx = \int (1 - \frac{1}{x+1}) \, dx$$ $$\int \frac{x}{x+1} \, dx = x - \ln|x+1|$$ Sustituyendo de nuevo en la expresión original: $$F(x) = x \ln(x+1) - (x - \ln(x+1)) = (x+1)\ln(x+1) - x$$ $$\boxed{F(x) = (x+1)\ln(x+1) - x + C}$$

Calculamos el área evaluando la primitiva en los límites de integración $0$ y $e-1$: $$A = \left[ (x+1)\ln(x+1) - x \right]_{0}^{e-1}$$ Evaluamos en el límite superior ($x = e-1$): $$F(e-1) = (e-1+1)\ln(e-1+1) - (e-1) = e \ln(e) - e + 1 = e(1) - e + 1 = 1$$ Evaluamos en el límite inferior ($x = 0$): $$F(0) = (0+1)\ln(0+1) - 0 = 1 \cdot 0 - 0 = 0$$ Aplicamos la resta: $$A = F(e-1) - F(0) = 1 - 0 = 1$$ El área del recinto es de $1$ unidad cuadrada. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = 1 \text{ u}^2}$$