Cálculo de la primitiva de una función compuesta

Para encontrar la primitiva $F(x)$, debemos calcular la integral indefinida de la función dada: $$F(x) = \int \arctan(\sqrt{x}) \, dx$$ Como tenemos una raíz dentro de la función arcotangente, realizamos el **cambio de variable** sugerido: $$x = t^2 \implies dx = 2t \, dt$$ Considerando $t = \sqrt{x} \ge 0$, sustituimos en la integral: $$F(t) = \int \arctan(t) \cdot 2t \, dt = 2 \int t \arctan(t) \, dt$$ 💡 **Tip:** El cambio de variable $x = t^2$ es muy útil cuando aparecen raíces cuadradas, ya que nos permite simplificar el argumento de funciones trascendentes como el arcotangente.

Resolvemos la integral $\int t \arctan(t) \, dt$ utilizando el método de **integración por partes**. Recordamos la fórmula: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Elegimos las partes según la regla ALPES (Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos/Cosenos): - Sea $u = \arctan(t) \implies du = \dfrac{1}{1+t^2} dt$ - Sea $dv = t \, dt \implies v = \dfrac{t^2}{2}$ Aplicamos la fórmula: $$\int t \arctan(t) \, dt = \frac{t^2}{2} \arctan(t) - \int \frac{t^2}{2} \cdot \frac{1}{1+t^2} \, dt$$ $$\int t \arctan(t) \, dt = \frac{t^2}{2} \arctan(t) - \frac{1}{2} \int \frac{t^2}{1+t^2} \, dt$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al elegir $u$, buscamos una función que se simplifique al derivar (como el arcotangente), mientras que $dv$ debe ser algo fácil de integrar.

Para resolver la integral $\int \frac{t^2}{1+t^2} \, dt$, observamos que el grado del numerador es igual al del denominador. Un truco rápido es sumar y restar 1 en el numerador: $$\int \frac{t^2}{1+t^2} \, dt = \int \frac{t^2+1-1}{1+t^2} \, dt = \int \left( \frac{1+t^2}{1+t^2} - \frac{1}{1+t^2} \right) dt$$ $$\int (1 - \frac{1}{1+t^2}) \, dt = t - \arctan(t)$$ Ahora sustituimos este resultado en la expresión anterior de la integral por partes: $$\int t \arctan(t) \, dt = \frac{t^2}{2} \arctan(t) - \frac{1}{2} (t - \arctan(t))$$ $$\int t \arctan(t) \, dt = \frac{t^2}{2} \arctan(t) - \frac{1}{2}t + \frac{1}{2}\arctan(t) = \frac{t^2+1}{2} \arctan(t) - \frac{t}{2}$$

Recuperamos la constante $2$ que sacamos de la integral al principio: $$F(t) = 2 \left[ \frac{t^2+1}{2} \arctan(t) - \frac{t}{2} \right] + C = (t^2+1) \arctan(t) - t + C$$ **Deshacemos el cambio de variable** sustituyendo $t = \sqrt{x}$ y $t^2 = x$: $$F(x) = (x+1) \arctan(\sqrt{x}) - \sqrt{x} + C$$ Esta es la familia de todas las primitivas de $f(x)$.

Se nos indica que la primitiva pasa por el punto $(0, 1)$, lo que significa que $F(0) = 1$. Sustituimos $x = 0$ en la expresión hallada: $$F(0) = (0+1) \cdot \arctan(\sqrt{0}) - \sqrt{0} + C = 1$$ $$1 \cdot \arctan(0) - 0 + C = 1$$ Como $\arctan(0) = 0$, tenemos: $$0 + C = 1 \implies C = 1$$ Sustituyendo el valor de $C$ en la expresión de $F(x)$, obtenemos la solución buscada: ✅ **Solución final:** $$\boxed{F(x) = (x+1) \arctan(\sqrt{x}) - \sqrt{x} + 1}$$ 💡 **Tip:** Siempre verifica al final que $F(0)$ efectivamente da el valor solicitado para asegurar que no hubo errores en el cálculo de $C$.