Optimización de la superficie de un cilindro

Para resolver este problema de optimización, empezamos definiendo las variables del cilindro: - Sea $r$ el radio de la base del cilindro (en decímetros). - Sea $h$ la altura del cilindro (en decímetros). Sabemos que la capacidad o volumen $V$ es de 20 litros. Recordando que $1 \text{ litro} = 1 \text{ dm}^3$, tenemos: $$V = 20 \text{ dm}^3$$ La fórmula del volumen de un cilindro es: $$V = \pi r^2 h = 20$$ La función que queremos minimizar es el área total de la chapa (superficie lateral más las dos tapas): $$A = 2\pi r^2 + 2\pi r h$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable trabajar en decímetros cuando hablamos de litros, ya que la equivalencia es directa ($1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3$).

Para minimizar el área, necesitamos que la función $A$ dependa de una sola variable. Usamos la restricción del volumen para despejar $h$: $$\pi r^2 h = 20 \implies h = \frac{20}{\pi r^2}$$ Sustituimos $h$ en la fórmula del área: $$A(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \left( \frac{20}{\pi r^2} \right)$$ $$A(r) = 2\pi r^2 + \frac{40}{r}$$ El dominio de esta función es $r \in (0, +\infty)$, ya que el radio debe ser positivo. $$\boxed{A(r) = 2\pi r^2 + \frac{40}{r}}$$

Derivamos la función $A(r)$ respecto a $r$ para encontrar los extremos relativos: $$A'(r) = \frac{d}{dr}(2\pi r^2 + 40r^{-1}) = 4\pi r - 40r^{-2} = 4\pi r - \frac{40}{r^2}$$ Igualamos la derivada a cero para hallar los puntos críticos: $$4\pi r - \frac{40}{r^2} = 0 \implies 4\pi r = \frac{40}{r^2} \implies 4\pi r^3 = 40$$ $$r^3 = \frac{40}{4\pi} = \frac{10}{\pi}$$ $$r = \sqrt[3]{\frac{10}{\pi}} \approx 1.47 \text{ dm}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $1/r$ es $-1/r^2$. Esto facilita mucho el cálculo sin usar la regla del cociente.

Estudiamos el signo de $A'(r)$ alrededor del punto crítico $r = \sqrt[3]{10/\pi}$ para confirmar que se trata de un mínimo: $$\begin{array}{c|ccc} r & (0, \sqrt[3]{10/\pi}) & \sqrt[3]{10/\pi} & (\sqrt[3]{10/\pi}, +\infty) \\ \hline A'(r) & - & 0 & + \\ \hline A(r) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ - Si $r \lt \sqrt[3]{10/\pi}$, por ejemplo $r=1$, $A'(1) = 4\pi - 40 \lt 0$, la función decrece. - Si $r \gt \sqrt[3]{10/\pi}$, por ejemplo $r=2$, $A'(2) = 8\pi - 10 \gt 0$, la función crece. Al pasar de decreciente a creciente, en $r = \sqrt[3]{10/\pi}$ existe un **mínimo relativo** (que es absoluto en el dominio dado). 💡 **Tip:** También podrías usar la segunda derivada $A''(r) = 4\pi + 80/r^3$. Como para $r \gt 0$ siempre es positiva, la función es convexa y el punto crítico es un mínimo.

Una vez hallado el radio óptimo, calculamos la altura $h$ correspondiente: $$h = \frac{20}{\pi r^2} = \frac{20}{\pi \left(\sqrt[3]{\frac{10}{\pi}}\right)^2} = \frac{20}{\pi \frac{10^{2/3}}{\pi^{2/3}}} = \frac{2 \cdot 10}{\pi^{1/3} \cdot 10^{2/3}} = \frac{2 \cdot 10^{1/3}}{\pi^{1/3}} = 2 \sqrt[3]{\frac{10}{\pi}}$$ Observamos que la altura óptima es exactamente el doble del radio, es decir, la altura debe ser igual al diámetro de la base ($h = 2r$). Calculamos los valores aproximados: - $r = \sqrt[3]{\frac{10}{\pi}} \approx 1.465 \text{ dm}$ - $h = 2 \sqrt[3]{\frac{10}{\pi}} \approx 2.930 \text{ dm}$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{r = \sqrt[3]{\frac{10}{\pi}} \text{ dm}, \quad h = 2\sqrt[3]{\frac{10}{\pi}} \text{ dm}}$$