Pendiente de la tangente y estudio de asíntotas

**a) [1 punto] Determina $a$ sabiendo que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función $f$ en el punto de abscisa $x = 0$ es $1$.** Sabemos que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en $x_0$ coincide con el valor de la derivada $f'(x_0)$. En este caso, la condición es $f'(0) = 1$. Calculamos la derivada de $f(x) = \frac{\ln(x + 1) + a}{3x + 4}$ utilizando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{\left(\frac{1}{x+1}\right) \cdot (3x + 4) - (\ln(x + 1) + a) \cdot 3}{(3x + 4)^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si $y = \frac{u}{v}$, entonces $y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. En este caso $u = \ln(x+1)+a$ y $v = 3x+4$.

Evaluamos la derivada en $x = 0$: $$f'(0) = \frac{\frac{1}{0+1} \cdot (3(0) + 4) - (\ln(0 + 1) + a) \cdot 3}{(3(0) + 4)^2}$$ Como $\ln(1) = 0$, simplificamos la expresión: $$f'(0) = \frac{1 \cdot 4 - (0 + a) \cdot 3}{4^2} = \frac{4 - 3a}{16}$$ Igualamos el resultado a la pendiente dada, que es $1$, y resolvemos para $a$: $$\frac{4 - 3a}{16} = 1 \implies 4 - 3a = 16 \implies -3a = 12 \implies a = -4$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -4}$$

**b) [1,5 puntos] Para $a = 0$, estudia y calcula las asíntotas de $f$.** Para $a = 0$, la función es $f(x) = \frac{\ln(x + 1)}{3x + 4}$ con dominio $D = (-1, +\infty)$. 1. **Candidatos en el denominador:** $3x + 4 = 0 \implies x = -4/3$. Sin embargo, $x = -4/3 \approx -1.33$ no pertenece al dominio $(-1, +\infty)$, por lo que no puede haber asíntota ahí. 2. **Extremo del dominio ($x = -1$):** Estudiamos el límite por la derecha: $$\lim_{x \to -1^+} \frac{\ln(x + 1)}{3x + 4} = \frac{\ln(0^+)}{3(-1) + 4} = \frac{-\infty}{1} = -\infty$$ Como el límite es infinito, existe una asíntota vertical. ✅ **Resultado (Asíntota Vertical):** $$\boxed{x = -1}$$

Buscamos el comportamiento de la función cuando $x \to +\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x + 1)}{3x + 4} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right]$$ Aplicamos la **regla de L'Hôpital**: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln(x + 1))'}{(3x + 4)'} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x+1}}{3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{3(x+1)} = \frac{1}{\infty} = 0$$ Al ser el límite un valor finito, existe una asíntota horizontal en $y = 0$. Como hay asíntota horizontal hacia $+\infty$, **no hay asíntota oblicua** en esa dirección. 💡 **Tip:** La regla de L'Hôpital se aplica cuando tenemos indeterminaciones del tipo $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. Consiste en derivar numerador y denominador por separado. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{AV: } x = -1, \quad \text{AH: } y = 0, \quad \text{AO: No tiene}}$$