Volumen de un paralelepípedo y área de un paralelogramo

**a) [1,5 puntos] Calcula los posibles valores de $x$ para que el volumen del paralelepípedo definido por los vectores $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ y $\vec{OC}$ sea $5$.** En primer lugar, determinamos las componentes de los vectores que definen el paralelepípedo a partir de los puntos dados. Al ser el origen $O(0,0,0)$, las coordenadas de los vectores coinciden con las de los puntos $A$, $B$ y $C$: * $\vec{OA} = (2 - 0, -1 - 0, 0 - 0) = (2, -1, 0)$ * $\vec{OB} = (3 - 0, 0 - 0, x - 0) = (3, 0, x)$ * $\vec{OC} = (-x - 0, 1 - 0, -1 - 0) = (-x, 1, -1)$ 💡 **Tip:** Recuerda que el vector $\vec{PQ}$ se calcula restando las coordenadas del extremo menos las del origen: $\vec{PQ} = Q - P$.

El volumen de un paralelepípedo es el valor absoluto del producto mixto de los tres vectores que lo definen. Calculamos el producto mixto mediante el determinante de la matriz formada por los vectores: $$[\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}] = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 3 & 0 & x \\ -x & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$[\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}] = (2 \cdot 0 \cdot (-1)) + ((-1) \cdot x \cdot (-x)) + (0 \cdot 3 \cdot 1) - (0 \cdot 0 \cdot (-x) + 2 \cdot x \cdot 1 + (-1) \cdot 3 \cdot (-1))$$ $$[\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}] = (0 + x^2 + 0) - (0 + 2x + 3) = x^2 - 2x - 3$$ 💡 **Tip:** El producto mixto representa el volumen orientado. El volumen real siempre debe ser positivo, por lo que usaremos el valor absoluto.

El enunciado establece que el volumen es igual a $5$. Por lo tanto: $$|x^2 - 2x - 3| = 5$$ Esta ecuación con valor absoluto se desglosa en dos casos posibles: 1. **Caso 1:** $x^2 - 2x - 3 = 5$ 2. **Caso 2:** $x^2 - 2x - 3 = -5$ Analizaremos cada caso por separado para hallar los valores de $x$.

Resolvemos la ecuación $x^2 - 2x - 3 = 5$: $$x^2 - 2x - 8 = 0$$ Utilizamos la fórmula general de la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2}$$ $$x = \frac{2 \pm 6}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: * $x_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4$ * $x_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2$ $$\boxed{x = 4, \quad x = -2}$$

Resolvemos la ecuación $x^2 - 2x - 3 = -5$: $$x^2 - 2x + 2 = 0$$ Calculamos el discriminante ($\Delta = b^2 - 4ac$): $$\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$$ Como el discriminante es negativo ($\Delta \lt 0$), esta ecuación **no tiene soluciones reales**. ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{x = 4 \text{ y } x = -2}$$

**b) [1 punto] Para $x = 1$, calcula el área de la cara del paralelepípedo que contiene a los vértices $O, A$ y $B$.** Si $x = 1$, los vectores que definen la cara del paralelogramo son: * $\vec{OA} = (2, -1, 0)$ * $\vec{OB} = (3, 0, 1)$ El área del paralelogramo formado por estos dos vectores es el módulo de su producto vectorial: $\text{Área} = |\vec{OA} \times \vec{OB}|$. 💡 **Tip:** Recuerda que si el ejercicio pidiera el área del triángulo $OAB$, el resultado sería la mitad del área del paralelogramo.

Calculamos el producto vectorial $\vec{OA} \times \vec{OB}$ mediante el determinante con los vectores unitarios $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$: $$\vec{OA} \times \vec{OB} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la regla de Sarrus o por adjuntos de la primera fila: $$\vec{OA} \times \vec{OB} = \mathbf{i}(-1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(2 \cdot 1 - 3 \cdot 0) + \mathbf{k}(2 \cdot 0 - 3 \cdot (-1))$$ $$\vec{OA} \times \vec{OB} = \mathbf{i}(-1) - \mathbf{j}(2) + \mathbf{k}(3) = (-1, -2, 3)$$ El vector resultante del producto vectorial es $(-1, -2, 3)$.

Finalmente, hallamos el módulo del vector obtenido en el paso anterior: $$\text{Área} = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 3^2}$$ $$\text{Área} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$$ El valor aproximado es $3,74$ unidades cuadradas. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{\text{Área} = \sqrt{14} \text{ u}^2}$$