Geometría en el espacio 2023 Andalucia
Simetría de un punto respecto a un plano
Para determinar el punto simétrico de $A(2, -4, -3)$ con respecto al plano que contiene a los puntos $B(1, 1, 2)$, $C(0, 1/3, 1)$ y $D(-3, 0, 3)$, seguiremos los siguientes pasos:
1. Hallar la ecuación del plano $\pi$ que contiene a $B, C$ y $D$.
2. Hallar la recta $r$ perpendicular al plano que pasa por $A$.
3. Hallar el punto de intersección $M$ entre la recta $r$ y el plano $\pi$.
4. Hallar el punto simétrico $A'$.
Paso 1
Hallar la ecuación del plano π
Para obtener la ecuación del plano $\pi$, necesitamos un punto (usaremos $B$) y dos vectores directores contenidos en él:
* $\vec{u} = \vec{BC} = C - B = (0 - 1, 1/3 - 1, 1 - 2) = (-1, -2/3, -1)$
* $\vec{v} = \vec{BD} = D - B = (-3 - 1, 0 - 1, 3 - 2) = (-4, -1, 1)$
Calculamos el vector normal $\vec{n}$ mediante el producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ usando el determinante resuelto por Sarrus:
$$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & -2/3 & -1 \\ -4 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \left(-\frac{2}{3}\right)\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + \mathbf{k} - \left(\frac{8}{3}\mathbf{k} + \mathbf{i} - \mathbf{j}\right)$$
$$\vec{n} = \left(-\frac{2}{3} - 1\right)\mathbf{i} + (4 + 1)\mathbf{j} + \left(1 - \frac{8}{3}\right)\mathbf{k} = \left(-\frac{5}{3}, 5, -\frac{5}{3}\right)$$
Simplificamos el vector normal multiplicando por $-\frac{3}{5}$ para facilitar los cálculos:
$$\vec{n} = (1, -3, 1)$$
La ecuación del plano es $x - 3y + z + d = 0$. Sustituimos $B(1, 1, 2)$:
$$1 - 3(1) + 2 + d = 0 \implies 0 + d = 0 \implies d = 0$$
✅ **Ecuación del plano:**
$$\boxed{\pi: x - 3y + z = 0}$$
Paso 2
Hallar la recta r perpendicular al plano
La recta $r$ que pasa por $A(2, -4, -3)$ y es perpendicular al plano $\pi$ tiene como vector director el vector normal del plano, $\vec{v}_r = \vec{n} = (1, -3, 1)$.
Sus ecuaciones paramétricas son:
$$r: \begin{cases} x = 2 + t \\ y = -4 - 3t \\ z = -3 + t \end{cases}$$
💡 **Tip:** Recuerda que si una recta es perpendicular a un plano, el vector normal del plano sirve como vector director de dicha recta.
Paso 3
Hallar la proyección ortogonal M
El punto $M$ es la intersección de la recta $r$ con el plano $\pi$. Sustituimos las expresiones de la recta en la ecuación del plano:
$$(2 + t) - 3(-4 - 3t) + (-3 + t) = 0$$
$$2 + t + 12 + 9t - 3 + t = 0$$
$$11t + 11 = 0 \implies 11t = -11 \implies t = -1$$
Sustituimos $t = -1$ en la recta para obtener las coordenadas de $M$:
* $x_M = 2 + (-1) = 1$
* $y_M = -4 - 3(-1) = -1$
* $z_M = -3 + (-1) = -4$
✅ **Punto de intersección (proyección):**
$$\boxed{M(1, -1, -4)}$$
Paso 4
Calcular el punto simétrico A'
El punto $M$ es el punto medio del segmento $AA'$, donde $A'(x', y', z')$ es el simétrico. Por tanto:
$$M = \frac{A + A'}{2} \implies A' = 2M - A$$
Calculamos componente a componente:
* $x' = 2(1) - 2 = 0$
* $y' = 2(-1) - (-4) = -2 + 4 = 2$
* $z' = 2(-4) - (-3) = -8 + 3 = -5$
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{A'(0, 2, -5)}$$