Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones matriciales

**a) [1,5 puntos] Discute el sistema $BA = C$, según los valores de $\alpha$.** Primero, realizamos el producto de las matrices $B$ ($1 \times 3$) y $A$ ($3 \times 3$) para obtener una matriz $1 \times 3$ e igualarla a $C$: $$BA = \begin{pmatrix} \alpha & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y & z \\ y & x & x \\ z & z & y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha x + y + z & \alpha y + x + z & \alpha z + x + y \end{pmatrix}$$ Igualamos a $C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, lo que nos genera el siguiente sistema de ecuaciones lineales con incógnitas $x, y, z$: $$\begin{cases} \alpha x + y + z = 1 \\ x + \alpha y + z = 1 \\ x + y + \alpha z = 1 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, el número de columnas de la primera debe coincidir con el de filas de la segunda.

Para discutir el sistema según el parámetro $\alpha$, definimos la matriz de coeficientes $M$ y la matriz ampliada $M^*$: $$M = \begin{pmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & \alpha \end{pmatrix}; \quad M^* = \left(\begin{array}{ccc|c} \alpha & 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 & 1 \\ 1 & 1 & \alpha & 1 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $M$ mediante la regla de Sarrus: $$|M| = \begin{vmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & \alpha \end{vmatrix} = \alpha^3 + 1 + 1 - (\alpha + \alpha + \alpha) = \alpha^3 - 3\alpha + 2$$ Buscamos las raíces de $|M| = 0$ para identificar los valores críticos. Probamos con $\alpha = 1$: $$1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$$ Factorizando por Ruffini o división polinómica, obtenemos: $$|M| = (\alpha - 1)^2(\alpha + 2)$$ Las soluciones de $|M| = 0$ son **$\alpha = 1$** y **$\alpha = -2$**.

Analizamos los tres casos posibles según el valor de $\alpha$: **Caso 1: $\alpha \neq 1$ y $\alpha \neq -2$** Como $|M| \neq 0$, el rango de $M$ es 3. Al ser la matriz de orden 3, $\text{rg}(M) = \text{rg}(M^*) = 3$, que coincide con el número de incógnitas. Por el Teorema de Rouché-Capelli, el sistema es **Sistema Compatible Determinado (SCD)** (solución única). **Caso 2: $\alpha = 1$** La matriz ampliada queda: $$M^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Como todas las filas son iguales, el $\text{rg}(M) = 1$ y $\text{rg}(M^*) = 1$. Como $\text{rg}(M) = \text{rg}(M^*) \lt 3$, el sistema es **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)** (infinitas soluciones). **Caso 3: $\alpha = -2$** La matriz ampliada queda: $$M^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 & 1 \end{array}\right)$$ El $\text{rg}(M) = 2$ (ya que el menor $\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 3 \neq 0$). Calculamos el rango de $M^*$ orlando con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 4 + 1 + 1 - (-2 - 2 + 1) = 6 - (-3) = 9 \neq 0$$ Como $\text{rg}(M) = 2 \neq \text{rg}(M^*) = 3$, el sistema es **Sistema Incompatible (SI)** (no tiene solución). 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Capelli es fundamental: si $\text{rg}(M) = \text{rg}(M^*)$ el sistema es compatible; si además es igual al número de incógnitas, es determinado.

**b) [1 punto] Resuelve el sistema, si es posible, para $\alpha = 0$ y para $\alpha = 1$.** Para **$\alpha = 0$**, el sistema es SCD. Sustituimos en el sistema original: $$\begin{cases} y + z = 1 \\ x + z = 1 \\ x + y = 1 \end{cases}$$ Restamos la segunda ecuación a la primera: $$(y + z) - (x + z) = 1 - 1 \implies y - x = 0 \implies y = x$$ Sustituimos $y = x$ en la tercera ecuación: $$x + x = 1 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$$ Como $x = \frac{1}{2}$, entonces $y = \frac{1}{2}$. Sustituyendo en la primera: $\frac{1}{2} + z = 1 \implies z = \frac{1}{2}$. ✅ **Resultado para $\alpha = 0$:** $$\boxed{x = \frac{1}{2}, \; y = \frac{1}{2}, \; z = \frac{1}{2}}$$

Para **$\alpha = 1$**, el sistema es SCI y las tres ecuaciones se reducen a una sola: $$x + y + z = 1$$ Como tenemos 3 incógnitas y el rango es 1, necesitamos $3 - 1 = 2$ parámetros. Sea $y = \lambda$ y $z = \mu$, con $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$. Despejamos $x$: $$x = 1 - \lambda - \mu$$ ✅ **Resultado para $\alpha = 1$:** $$\boxed{(x, y, z) = (1 - \lambda - \mu, \lambda, \mu) \quad \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}}$$