Invertibilidad de una matriz y ecuación matricial

**Apartado a) Calcular $m$ para que la matriz $A$ tenga inversa.** Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Calculamos el determinante de $A$: $$\det(A) = \begin{vmatrix} m+1 & 1 & m-1 \\ 1 & 1 & 1 \\ m-1 & 1 & m+1 \end{vmatrix}$$ Para facilitar el cálculo, aplicamos propiedades de los determinantes realizando una operación elemental entre filas ($F_3 \leftarrow F_3 - F_1$): $$\det(A) = \begin{vmatrix} m+1 & 1 & m-1 \\ 1 & 1 & 1 \\ (m-1)-(m+1) & 1-1 & (m+1)-(m-1) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} m+1 & 1 & m-1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 0 & 2 \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** Hacer ceros en una fila o columna mediante combinaciones lineales facilita mucho el desarrollo del determinante.

Desarrollamos el determinante por la tercera fila (que tiene un cero): $$\det(A) = -2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & m-1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} m+1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\det(A) = -2(1 - (m-1)) + 2((m+1) - 1)$$ $$\det(A) = -2(2 - m) + 2(m) = -4 + 2m + 2m = 4m - 4$$ Para que exista $A^{-1}$, el determinante debe ser distinto de cero: $$4m - 4 \neq 0 \implies 4m \neq 4 \implies m \neq 1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La matriz } A \text{ tiene inversa para } m \in \mathbb{R}, m \neq 1}$$

**Apartado b) Para $m = 0$, resolver la ecuación matricial $\frac{1}{2}AX + C^4 = B$.** Primero, despejamos la matriz incógnita $X$. Restamos $C^4$ en ambos lados y multiplicamos por 2: $$\frac{1}{2}AX = B - C^4 \implies AX = 2(B - C^4)$$ Como para $m=0$ el determinante es $\det(A) = 4(0) - 4 = -4 \neq 0$, la matriz $A$ es invertible. Multiplicamos por $A^{-1}$ por la izquierda: $$X = A^{-1} \cdot 2(B - C^4)$$ Analizamos $C^4$. Calculamos $C^2$: $$C^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I$$ Como $C^2 = I$, entonces $C^4 = (C^2)^2 = I^2 = I$. La ecuación se reduce a: $$\boxed{X = A^{-1} \cdot 2(B - I)}$$ 💡 **Tip:** Si una matriz al cuadrado es la identidad, todas sus potencias pares serán la identidad.

Sustituimos $m=0$ en $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad \det(A) = -4$$ Calculamos la matriz de adjuntos $\text{adj}(A)$: - $A_{11} = 1(1)-1(1) = 0$; $A_{12} = -(1(1)-1(-1)) = -2$; $A_{13} = 1(1)-(-1)(1) = 2$ - $A_{21} = -(1(1)-1(-1)) = -2$; $A_{22} = 1(1)-(-1)(-1) = 0$; $A_{23} = -(1(1)-1(-1)) = -2$ - $A_{31} = 1(1)-1(-1) = 2$; $A_{32} = -(1(1)-1(-1)) = -2$; $A_{33} = 1(1)-1(1) = 0$ La matriz adjunta traspuesta es: $$\text{adj}(A)^T = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 \\ -2 & 0 & -2 \\ 2 & -2 & 0 \end{pmatrix}$$ $$A^{-1} = \frac{1}{-4} \begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 \\ -2 & 0 & -2 \\ 2 & -2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1/2 & -1/2 \\ 1/2 & 0 & 1/2 \\ -1/2 & 1/2 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A)^T$.

Calculamos primero el paréntesis: $$B - I = \begin{pmatrix} 0 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 4 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 4 & 2 \\ 0 & -1 & 4 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos por el escalar 2: $$2(B - I) = \begin{pmatrix} -2 & 8 & 4 \\ 0 & -2 & 8 \\ 4 & 4 & 0 \end{pmatrix}$$

Multiplicamos la matriz $A^{-1}$ por $2(B-I)$: $$X = \begin{pmatrix} 0 & 1/2 & -1/2 \\ 1/2 & 0 & 1/2 \\ -1/2 & 1/2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 8 & 4 \\ 0 & -2 & 8 \\ 4 & 4 & 0 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Fila 1: $(0)(-2) + (1/2)(0) + (-1/2)(4) = -2$; $(0)(8) + (1/2)(-2) + (-1/2)(4) = -3$; $(0)(4) + (1/2)(8) + (-1/2)(0) = 4$ - Fila 2: $(1/2)(-2) + (0)(0) + (1/2)(4) = 1$; $(1/2)(8) + (0)(-2) + (1/2)(4) = 6$; $(1/2)(4) + (0)(8) + (1/2)(0) = 2$ - Fila 3: $(-1/2)(-2) + (1/2)(0) + (0)(4) = 1$; $(-1/2)(8) + (1/2)(-2) + (0)(4) = -5$; $(-1/2)(4) + (1/2)(8) + (0)(0) = 2$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -2 & -3 & 4 \\ 1 & 6 & 2 \\ 1 & -5 & 2 \end{pmatrix}}$$