Puntos de corte y área del recinto entre $|x^2-1|$ y $x+5$

Buscamos las intersecciones resolviendo $|x^2-1|=x+5$. **Caso 1: $|x|\ge 1$ (entonces $f(x)=x^2-1$).** $$x^2-1=x+5\ \Rightarrow\ x^2-x-6=0\ \Rightarrow\ (x-3)(x+2)=0.$$ De aquí: $$x=3\quad \text{o}\quad x=-2.$$ Ambos cumplen $|x|\ge 1$, así que son válidos. Calculamos las ordenadas con $g(x)=x+5$: - Si $x=-2$, entonces $y=g(-2)=-2+5=3$. - Si $x=3$, entonces $y=g(3)=3+5=8$. **Caso 2: $|x|<1$ (entonces $f(x)=1-x^2$).** $$1-x^2=x+5\ \Rightarrow\ x^2+x+4=0.$$ El discriminante es $\Delta=1-16=-15<0$, por lo que **no hay soluciones reales** en este caso. ✅ **Puntos de corte:** $$\boxed{(-2,3)\ \text{y}\ (3,8)}.$$ 💡 **Tip:** Tras resolver en un caso, comprueba siempre que la solución cae en el intervalo supuesto (aquí, $|x|\ge 1$ o $|x|<1$).

La recta $g(x)=x+5$ corta a $f(x)=|x^2-1|$ en $(-2,3)$ y $(3,8)$. Entre esos dos valores de $x$ se forma el recinto. Para saber qué curva queda arriba en $[-2,3]$, probamos un punto del intervalo, por ejemplo $x=0$: $$f(0)=|0^2-1|=1,\qquad g(0)=0+5=5.$$ Como $g(0)>f(0)$, en el intervalo entre intersecciones la recta está por encima de $f$. ✅ **Recinto:** queda delimitado por la recta $y=x+5$ (arriba) y la curva $y=|x^2-1|$ (abajo) desde $x=-2$ hasta $x=3$. 💡 **Tip:** Para decidir “arriba/abajo”, basta comparar en un solo punto interior si no hay más cortes en el intervalo.

El área del recinto es $$A=\int_{-2}^{3}\bigl(g(x)-f(x)\bigr)\,dx,$$ porque en ese intervalo $g(x)\ge f(x)$. Pero $f(x)$ cambia de expresión en $x=-1$ y $x=1$, así que partimos la integral: $$A=\int_{-2}^{-1}\Big((x+5)-(x^2-1)\Big)\,dx +\int_{-1}^{1}\Big((x+5)-(1-x^2)\Big)\,dx +\int_{1}^{3}\Big((x+5)-(x^2-1)\Big)\,dx.$$ Simplificamos los integrandos: - Si $|x|\ge 1$: $(x+5)-(x^2-1)=-x^2+x+6$. - Si $|x|<1$: $(x+5)-(1-x^2)=x^2+x+4$. 💡 **Tip:** Con valores absolutos, la “fórmula del área” es la misma, pero hay que **partir la integral** en los puntos donde cambia la definición de $f$ (aquí, $x=\pm1$).

Calculamos cada tramo. **Tramo 1: $[-2,-1]$** $$I_1=\int_{-2}^{-1}(-x^2+x+6)\,dx.$$ Una primitiva es $$F(x)=-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+6x.$$ Evaluamos: - $F(-1)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-6=\frac{5}{6}-6=-\frac{31}{6}$. - $F(-2)=\frac{8}{3}+2-12=\frac{8}{3}-10=-\frac{22}{3}$. Entonces $$I_1=F(-1)-F(-2)=-\frac{31}{6}+\frac{22}{3}=\frac{13}{6}.$$ **Tramo 2: $[-1,1]$** $$I_2=\int_{-1}^{1}(x^2+x+4)\,dx.$$ Una primitiva es $$G(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+4x.$$ Evaluamos: - $G(1)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+4=\frac{5}{6}+4=\frac{29}{6}$. - $G(-1)=-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-4=\frac{1}{6}-4=-\frac{23}{6}$. Entonces $$I_2=G(1)-G(-1)=\frac{29}{6}-\left(-\frac{23}{6}\right)=\frac{52}{6}=\frac{26}{3}.$$ **Tramo 3: $[1,3]$** $$I_3=\int_{1}^{3}(-x^2+x+6)\,dx.$$ Usamos de nuevo $F(x)$: - $F(3)=-\frac{27}{3}+\frac{9}{2}+18=-9+\frac{9}{2}+18=\frac{27}{2}$. - $F(1)=-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+6=\frac{1}{6}+6=\frac{37}{6}$. Entonces $$I_3=F(3)-F(1)=\frac{27}{2}-\frac{37}{6}=\frac{81}{6}-\frac{37}{6}=\frac{44}{6}=\frac{22}{3}.$$ Sumamos: $$A=I_1+I_2+I_3=\frac{13}{6}+\frac{26}{3}+\frac{22}{3}=\frac{13}{6}+16=\frac{109}{6}.$$ ✅ **Área del recinto:** $$\boxed{A=\frac{109}{6}}.$$ 💡 **Tip:** Para evitar errores al sumar fracciones, pasa todo a un mismo denominador (aquí, 6) antes de sumar.

a) Los puntos de corte son $\boxed{(-2,3)}$ y $\boxed{(3,8)}$. El recinto queda entre la recta $y=x+5$ (arriba) y la curva $y=|x^2-1|$ (abajo) desde $x=-2$ hasta $x=3$. b) El área del recinto es $\boxed{\dfrac{109}{6}}$ unidades cuadradas. 💡 **Tip:** Si dudas del área, una estimación rápida ayuda: la base mide $5$ y las alturas típicas son de varios unidades, así que un valor alrededor de $18$ (aquí $109/6\approx 18{,}17$) es razonable.