Análisis 2023 Andalucia
Reconstruir una función a partir de su segunda derivada
EJERCICIO 3. (2,5 puntos)
Determina la función $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, sabiendo que es dos veces derivable, su gráfica pasa por el punto $(1,0)$, $f'(e)=e$ y $f''(x)=2\ln(x)+1$, para todo $x>0$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano).
Paso 1
Idea: integrar dos veces y usar las condiciones
Como nos dan $f''(x)$, para hallar $f$ debemos:
1) Integrar $f''(x)$ para obtener $f'(x)$ (aparece una constante $C_1$).
2) Usar $f'(e)=e$ para determinar $C_1$.
3) Integrar $f'(x)$ para obtener $f(x)$ (aparece otra constante $C_2$).
4) Usar que la gráfica pasa por $(1,0)$, es decir, $f(1)=0$, para hallar $C_2$.
Trabajamos siempre con $x>0$ (dominio dado), así que $\ln(x)$ está definida.
Paso 2
Integrar $f''(x)=2\ln(x)+1$ para obtener $f'(x)$
Partimos de:
$$f''(x)=2\ln(x)+1.$$
Integramos:
$$f'(x)=\int\left(2\ln(x)+1\right)\,dx.$$
Recordamos que:
$$\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x.$$
Entonces:
$$f'(x)=2\big(x\ln(x)-x\big)+x+C_1=2x\ln(x)-2x+x+C_1=2x\ln(x)-x+C_1.$$
Paso 3
Usar $f'(e)=e$ para hallar $C_1$
Sustituimos $x=e$ en la expresión de $f'(x)$:
$$f'(e)=2e\ln(e)-e+C_1.$$
Como $\ln(e)=1$:
$$f'(e)=2e-e+C_1=e+C_1.$$
Dado que $f'(e)=e$, se cumple:
$$e+C_1=e\ \Rightarrow\ C_1=0.$$
Por tanto:
$$\boxed{f'(x)=2x\ln(x)-x.}$$
Paso 4
Integrar $f'(x)$ para obtener $f(x)$
Ahora integramos:
$$f(x)=\int\left(2x\ln(x)-x\right)dx.$$
Separamos:
$$f(x)=\int 2x\ln(x)\,dx-\int x\,dx.$$
Para $\int 2x\ln(x)\,dx$, usamos que:
$$\int x\ln(x)\,dx=\frac{x^2}{2}\ln(x)-\frac{x^2}{4}.$$
Multiplicando por 2:
$$\int 2x\ln(x)\,dx=x^2\ln(x)-\frac{x^2}{2}.$$
Y además:
$$\int x\,dx=\frac{x^2}{2}.$$
Entonces:
$$f(x)=\left(x^2\ln(x)-\frac{x^2}{2}\right)-\frac{x^2}{2}+C_2=x^2\ln(x)-x^2+C_2.$$
Paso 5
Usar que pasa por $(1,0)$ para hallar $C_2$ y dar la función
Como la gráfica pasa por $(1,0)$, tenemos $f(1)=0$:
$$0=f(1)=1^2\ln(1)-1^2+C_2.$$
Pero $\ln(1)=0$, así que:
$$0=0-1+C_2\ \Rightarrow\ C_2=1.$$
✅ **Función buscada:**
$$\boxed{f(x)=x^2\ln(x)-x^2+1,\quad x>0.}$$
Comprobación rápida:
- $f'(x)=2x\ln(x)-x$ (derivando $x^2\ln(x)-x^2+1$).
- $f''(x)=2\ln(x)+1$.
- $f(1)=0$ y $f'(e)=e$.