Concavidad, convexidad y asíntotas de $\dfrac{1}{x|x|}$

**a) [1 punto] Calcula los intervalos de concavidad y de convexidad de $f$, así como los puntos de inflexión de su gráfica, si existen.** **b) [1,5 gráfica] Estudia y calcula las asíntotas de la función. Esboza su gráfica.** La función es $$f(x)=\frac{1}{x|x|},\quad x\neq 0,$$ por tanto su dominio es $$D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}.$$ Como aparece $|x|$, separamos según el signo de $x$: - Si $x\gt 0$, entonces $|x|=x$. - Si $x\lt 0$, entonces $|x|=-x$. Así, queda como función a trozos: $$f(x)=\begin{cases} -\dfrac{1}{x^2} & \text{si } x\lt 0,\\ \dfrac{1}{x^2} & \text{si } x\gt 0. \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Para derivar y estudiar concavidad con valores absolutos, el paso clave es reescribir la función **a trozos** y trabajar en cada intervalo.

Derivamos en cada intervalo (son funciones tipo potencia). Para $x\gt 0$: $$f(x)=x^{-2} \Rightarrow f'(x)=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^3}.$$ Derivamos otra vez: $$f''(x)=-2\cdot(-3)x^{-4}=6x^{-4}=\frac{6}{x^4}.$$ Para $x\lt 0$: $$f(x)=-x^{-2} \Rightarrow f'(x)=-(-2)x^{-3}=2x^{-3}=\frac{2}{x^3}.$$ Derivamos otra vez: $$f''(x)=2\cdot(-3)x^{-4}=-6x^{-4}=-\frac{6}{x^4}.$$ Por tanto, $$f''(x)=\begin{cases} -\dfrac{6}{x^4} & \text{si } x\lt 0,\\ \dfrac{6}{x^4} & \text{si } x\gt 0. \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda: si $f''(x)\gt 0$ la función es **convexa** (cóncava hacia arriba) y si $f''(x)\lt 0$ es **cóncava** (hacia abajo).

Observa que $x^4\gt 0$ para todo $x\neq 0$. Por tanto, el signo de $f''(x)$ viene dado por el signo del numerador: - Si $x\lt 0$: $$f''(x)=-\frac{6}{x^4}\lt 0\ \Rightarrow\ f\ \text{es cóncava en}\ (-\infty,0).$$ - Si $x\gt 0$: $$f''(x)=\frac{6}{x^4}\gt 0\ \Rightarrow\ f\ \text{es convexa en}\ (0,+\infty).$$ Tabla de signos de $f''$: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & 0 & (0,+\infty)\\ \hline x^4 & + & 0 & +\\ f''(x) & - & \text{no definida} & + \end{array} $$ ✅ **Resultado (concavidad/convexidad):** $$\boxed{\text{Cóncava en }(-\infty,0)\quad\text{y convexa en }(0,+\infty).}$$

Un **punto de inflexión** debe ser un punto de la gráfica (es decir, un $x$ del dominio) donde cambie la concavidad. Aquí la concavidad cambia al pasar de $x\lt 0$ a $x\gt 0$, pero el único punto “frontera” es $x=0$ y **no pertenece al dominio** (la función no está definida en $0$). ✅ **Conclusión (puntos de inflexión):** $$\boxed{\text{No existen puntos de inflexión (porque }x=0\notin D_f\text{).}}$$ 💡 **Tip:** Si el cambio de concavidad ocurre en un punto donde la función no existe, **no** puede haber punto de inflexión.

Estudiamos el comportamiento cerca de $x=0$. Por la derecha ($x\to 0^+$): $$\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x^2}=+\infty.$$ Por la izquierda ($x\to 0^-$): $$\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^-}\left(-\frac{1}{x^2}\right)=-\infty.$$ Como la función se hace infinita al acercarse a $0$, existe asíntota vertical: $$\boxed{x=0}.$$ 💡 **Tip:** Basta con que al menos uno de los límites laterales sea $\pm\infty$ para que haya asíntota vertical.

Calculamos los límites en los infinitos. Cuando $x\to +\infty$: $$\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x^2}=0.$$ Cuando $x\to -\infty$: $$\lim_{x\to -\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}\left(-\frac{1}{x^2}\right)=0.$$ Por tanto, la asíntota horizontal es $$\boxed{y=0}$$ tanto a la derecha como a la izquierda. Además, no hay asíntota oblicua porque la función tiende a una constante (0) cuando $x\to\pm\infty$. ✅ **Resultado (asíntotas):** $$\boxed{\text{Asíntota vertical: }x=0.\qquad \text{Asíntota horizontal: }y=0.}$$

Rasgos clave para dibujarla: - En $(0,+\infty)$: $f(x)=\dfrac{1}{x^2}\gt 0$, baja desde $+\infty$ (cerca de $0$) hasta $0$ (cuando $x\to +\infty$) y es convexa. - En $(-\infty,0)$: $f(x)=-\dfrac{1}{x^2}\lt 0$, baja desde $0$ (cuando $x\to -\infty$) hasta $-\infty$ (cerca de $0$) y es cóncava. Se observa la asíntota vertical $x=0$ y la horizontal $y=0$. (Además, como $f(-x)=-f(x)$, la gráfica es simétrica respecto del origen). 💡 **Tip:** Para el esbozo, marca primero las asíntotas y luego el signo de la función a cada lado de la asíntota vertical.