Rectángulo de diagonal fija con área máxima

De entre todos los rectángulos de diagonal 10 cm (cada una), calcula las dimensiones del que tiene mayor área. Sea un rectángulo de lados $x$ e $y$, con $x>0$ e $y>0$. Por el teorema de Pitágoras aplicado a la diagonal $d=10$: $$x^2+y^2=d^2=10^2=100.$$ 💡 **Tip:** Cuando un rectángulo tiene la diagonal fija, los lados cumplen siempre una ecuación del tipo $x^2+y^2=\text{constante}$. **Condición de la diagonal:** $$\boxed{x^2+y^2=100}$$

El área del rectángulo es $$A=xy.$$ Usamos la condición $x^2+y^2=100$ para expresar $y$ en función de $x$: $$y^2=100-x^2\quad\Rightarrow\quad y=\sqrt{100-x^2},$$ (dado que $y>0$). Entonces el área queda como función de $x$: $$A(x)=x\sqrt{100-x^2}.$$ El dominio viene dado por $100-x^2>0$ y $x>0$: $$0\lt x\lt10.$$ 💡 **Tip:** En máximos y mínimos con raíz, revisa siempre el dominio (aquí, $x$ no puede valer $10$ porque entonces $y=0$ y no habría rectángulo “con área”). **Función a maximizar:** $$\boxed{A(x)=x\sqrt{100-x^2},\quad \lt x\lt10}$$

Derivamos $$A(x)=x\sqrt{100-x^2}.$$ Usamos regla del producto: - $u=x \Rightarrow u'=1$. - $v=\sqrt{100-x^2}=(100-x^2)^{1/2}\Rightarrow v'=\frac{1}{2}(100-x^2)^{-1/2}(-2x)=-\frac{x}{\sqrt{100-x^2}}.$ Entonces: $$A'(x)=u'v+uv'=\sqrt{100-x^2}+x\left(-\frac{x}{\sqrt{100-x^2}}\right).$$ Unificamos en una sola fracción: $$A'(x)=\frac{100-x^2-x^2}{\sqrt{100-x^2}}=\frac{100-2x^2}{\sqrt{100-x^2}}.$$ Para puntos críticos en el dominio $0\lt x\lt10$, imponemos $A'(x)=0$: $$\frac{100-2x^2}{\sqrt{100-x^2}}=0\quad\Longrightarrow\quad 100-2x^2=0$$ $$2x^2=100\Rightarrow x^2=50\Rightarrow x=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$$ (porque $x>0$). **Punto crítico:** $$\boxed{x=5\sqrt{2}}$$

En $0 \lt x \lt10$ se cumple $\sqrt{100-x^2}>0$, así que el signo de $A'(x)$ depende de $100-2x^2$. - Si $0 \lt x \lt5\sqrt{2}$, entonces $100-2x^2>0$ y $A'(x)>0$ (el área **crece**). - Si $5\sqrt{2}\lt x \lt 10$, entonces $100-2x^2<0$ y $A'(x)<0$ (el área **decrece**). Luego $A(x)$ tiene un **máximo** en $x=5\sqrt{2}$. Calculamos el otro lado: $$y=\sqrt{100-x^2}=\sqrt{100-50}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}.$$ 💡 **Tip:** El resultado sugiere que el rectángulo de área máxima, con diagonal fija, es un **cuadrado** (lados iguales). ✅ **Dimensiones del rectángulo de área máxima:** $$\boxed{x=5\sqrt{2}\ \text{cm},\qquad y=5\sqrt{2}\ \text{cm}}$$ (Área máxima: $A_{\max}=xy=(5\sqrt{2})^2=50\ \text{cm}^2$.)

En la gráfica se ve cómo $A(x)$ sube desde $0$ (cuando $x\to 0$) hasta un máximo y luego baja hacia $0$ (cuando $x\to 10$). El máximo ocurre en $x=5\sqrt{2}$.