Geometría en el espacio 2023 Andalucia
Paralelogramo en el espacio y recta perpendicular a un plano
EJERCICIO 8. (2,5 puntos)
Considera el paralelogramo cuyos vértices consecutivos son los puntos $P(-1,2,3)$, $Q(-2,1,0)$, $R(0,5,1)$ y $S$.
a) [1 punto] Halla las coordenadas del punto $S$.
b) [1,5 puntos] Calcula la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular al plano que contiene a los puntos $P$, $Q$ y $R$.
Paso 1
Usar la propiedad de paralelogramo para hallar $S$
**a) [1 punto] Halla las coordenadas del punto $S$.**
En un paralelogramo con vértices consecutivos $P,Q,R,S$ se cumple:
$$\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{QR}.$$
Calculamos:
$$\overrightarrow{QR}=R-Q=(0-(-2),\,5-1,\,1-0)=(2,4,1).$$
Entonces:
$$S=P+\overrightarrow{QR}=(-1,2,3)+(2,4,1)=(1,6,4).$$
✅ **Resultado (apartado a):**
$$\boxed{S(1,6,4)}$$
Paso 2
Vector normal al plano $PQR$ mediante producto vectorial
**b) [1,5 puntos] Calcula la ecuación de la recta que pasa por el origen y es perpendicular al plano que contiene a $P$, $Q$ y $R$.**
Una recta perpendicular al plano $PQR$ debe llevar como vector director un **vector normal** del plano.
Tomamos dos vectores del plano:
$$\overrightarrow{PQ}=Q-P=(-2-(-1),\,1-2,\,0-3)=(-1,-1,-3),$$
$$\overrightarrow{PR}=R-P=(0-(-1),\,5-2,\,1-3)=(1,3,-2).$$
Un normal es:
$$\vec n=\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}=
\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k\\
-1&-1&-3\\
1&3&-2
\end{vmatrix}.$$
Calculamos:
- Componente $x$:
$$(-1)(-2)-(-3)\cdot 3=2-(-9)=11.$$
- Componente $y$:
$$-\big((-1)(-2)-(-3)\cdot 1\big)=-\big(2-(-3)\big)=-5.$$
- Componente $z$:
$$(-1)\cdot 3-(-1)\cdot 1=-3-(-1)=-2.$$
Luego:
$$\boxed{\vec n=(11,-5,-2)}.$$
Paso 3
Ecuación de la recta por el origen con dirección normal
La recta buscada pasa por $O(0,0,0)$ y tiene dirección $\vec n=(11,-5,-2)$.
Ecuación paramétrica:
$$\boxed{(x,y,z)=(0,0,0)+t(11,-5,-2)}$$
es decir:
$$\boxed{\begin{cases}x=11t\\y=-5t\\z=-2t\end{cases}\quad (t\in\mathbb{R})}$$
(Equivalente en continua):
$$\boxed{\frac{x}{11}=\frac{y}{-5}=\frac{z}{-2}}$$