Puntos de una recta a distancia dada de un plano

**Halla los puntos de $r$ cuya distancia a $\pi$ es $\sqrt{14}$.** Calculamos dos vectores del plano: $$\overrightarrow{AB}=B-A=(0-(-1),\,1-0,\,1-0)=(1,1,1),$$ $$\overrightarrow{AC}=C-A=(2-(-1),\,1-0,\,0-0)=(3,1,0).$$ Un vector normal es el producto vectorial: $$\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}= \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\ 1&1&1\\ 3&1&0 \end{vmatrix}.$$ Calculamos componente a componente: $$\vec n=\big(1\cdot 0-1\cdot 1,\,-(1\cdot 0-1\cdot 3),\,1\cdot 1-1\cdot 3\big)=(-1,3,-2).$$ Tomamos como normal equivalente $$\vec n=(1,-3,2)$$ (multiplicando por $-1$). Ecuación del plano por el punto $A(-1,0,0)$: $$\vec n\cdot\big((x,y,z)-A\big)=0$$ $$ (1,-3,2)\cdot(x+1,\,y,\,z)=0.$$ Luego: $$x+1-3y+2z=0\ \Rightarrow\ \boxed{\pi:\ x-3y+2z+1=0}.$$

La recta viene dada por: $$\begin{cases}x-2z-3=0\\y-z-2=0\end{cases}$$ Tomamos $z=t$. Entonces: $$x=2z+3=2t+3,$$ $$y=z+2=t+2,$$ $$z=t.$$ Un punto genérico de $r$ es: $$P(t)=(2t+3,\,t+2,\,t).$$

La distancia de un punto $P(x_0,y_0,z_0)$ al plano $Ax+By+Cz+D=0$ es $$d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$$ Para $\pi: x-3y+2z+1=0$: $$A=1,\ B=-3,\ C=2,\ D=1,\quad \sqrt{A^2+B^2+C^2}=\sqrt{1+9+4}=\sqrt{14}.$$ Calculamos el numerador en $P(t)$: $$x-3y+2z+1=(2t+3)-3(t+2)+2t+1.$$ Simplificamos: $$(2t+3)-3t-6+2t+1=(2-3+2)t+(3-6+1)=t-2.$$ Así, $$d(P(t),\pi)=\frac{|t-2|}{\sqrt{14}}.$$ Imponemos que sea $\sqrt{14}$: $$\frac{|t-2|}{\sqrt{14}}=\sqrt{14}\ \Rightarrow\ |t-2|=14.$$ Entonces: $$t-2=14\Rightarrow t=16\quad\text{o}\quad t-2=-14\Rightarrow t=-12.$$

Para $t=16$: $$P(16)=(2\cdot 16+3,\,16+2,\,16)=(35,18,16).$$ Para $t=-12$: $$P(-12)=(2\cdot(-12)+3,\,-12+2,\,-12)=(-21,-10,-12).$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{(35,18,16)\ \text{y}\ (-21,-10,-12)}$$