Álgebra 2023 Andalucia
Rango mediante determinante con parámetro y sistema homogéneo
EJERCICIO 6. (2,5 puntos)
Dadas las matrices $A=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}$, se define la matriz $M=A+(\lambda-1)B$.
a) [1,5 puntos] Halla los valores de $\lambda$ para los que la matriz $M$ tiene rango menor que 3.
b) [1 punto] Para $\lambda=-1$, resuelve el sistema lineal homogéneo cuya matriz de coeficientes es $M$.
Paso 1
Escribir $M$ y calcular $\det(M)$
**a) [1,5 puntos] Halla los valores de $\lambda$ para los que la matriz $M$ tiene rango menor que 3.**
Sea $t=\lambda-1$.
Entonces
$$(\lambda-1)B=tB=\begin{pmatrix}0&0&t\\0&t&0\\t&0&0\end{pmatrix}.$$
Sumamos con
$$A=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix}$$
para obtener
$$M=\begin{pmatrix}1&1&t\\1&t&1\\t&1&1\end{pmatrix}.$$
Para que $\operatorname{rg}(M)\lt 3$ (matriz $3\times 3$) necesitamos
$$\det(M)=0.$$
Calculamos el determinante (desarrollo por la primera fila):
$$\det(M)=1\begin{vmatrix}t&1\\1&1\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}1&1\\t&1\end{vmatrix}+t\begin{vmatrix}1&t\\t&1\end{vmatrix}.$$
Calculamos los menores:
$$\begin{vmatrix}t&1\\1&1\end{vmatrix}=t\cdot 1-1\cdot 1=t-1,$$
$$\begin{vmatrix}1&1\\t&1\end{vmatrix}=1\cdot 1-1\cdot t=1-t,$$
$$\begin{vmatrix}1&t\\t&1\end{vmatrix}=1\cdot 1-t\cdot t=1-t^2.$$
Sustituimos:
$$\det(M)=(t-1)-(1-t)+t(1-t^2).$$
Simplificamos:
$$(t-1)-(1-t)=t-1-1+t=2t-2,$$
por tanto
$$\det(M)=(2t-2)+t-t^3=3t-2-t^3.$$
Paso 2
Resolver $\det(M)=0$ y obtener $\lambda$
Imponemos
$$3t-2-t^3=0\ \Rightarrow\ t^3-3t+2=0.$$
Probamos raíces enteras:
- Para $t=1$:
$$1-3+2=0,$$
por tanto $(t-1)$ es factor.
Dividimos:
$$t^3-3t+2=(t-1)(t^2+t-2).$$
Factorizamos el cuadrático:
$$t^2+t-2=(t+2)(t-1).$$
Luego:
$$t^3-3t+2=(t-1)^2(t+2).$$
Por tanto,
$$\det(M)=0\ \iff\ (t-1)^2(t+2)=0\ \iff\ t=1\ \text{o}\ t=-2.$$
Recordando $t=\lambda-1$:
- $\lambda-1=1\Rightarrow\lambda=2$.
- $\lambda-1=-2\Rightarrow\lambda=-1$.
✅ **Resultado (apartado a):**
$$\boxed{\lambda\in\{-1,\,2\}}$$
Paso 3
Resolver el sistema homogéneo para $\lambda=-1$
**b) [1 punto] Para $\lambda=-1$, resuelve el sistema lineal homogéneo cuya matriz de coeficientes es $M$.**
Si $\lambda=-1$, entonces $t=\lambda-1=-2$ y
$$M=\begin{pmatrix}1&1&-2\\1&-2&1\\-2&1&1\end{pmatrix}.$$
El sistema $M\,(x,y,z)^t=(0,0,0)^t$ es:
$$\begin{cases}
x+y-2z=0\\
x-2y+z=0\\
-2x+y+z=0
\end{cases}$$
De la primera ecuación:
$$x=-y+2z.$$
Sustituimos en la segunda:
$$(-y+2z)-2y+z=0\ \Rightarrow\ -3y+3z=0\ \Rightarrow\ y=z.$$
Entonces
$$x=-z+2z=z.$$
Por tanto,
$$(x,y,z)=(z,z,z)=z(1,1,1).$$
✅ **Solución del sistema:**
$$\boxed{(x,y,z)=t(1,1,1),\quad t\in\mathbb{R}}$$