Matriz nilpotente: potencia alta e inversa de $I+A+A^2$ por Gauss-Jordan

**a) [0,75 puntos] Calcula $A^{10}$.** Partimos de $$A=\begin{pmatrix}0&a&-b\\0&0&b\\0&0&0\end{pmatrix}.$$ Calculamos $A^2=A\cdot A$. Fila 1 por columnas: - Entrada $(1,1)$: $$0\cdot 0+a\cdot 0+(-b)\cdot 0=0.$$ - Entrada $(1,2)$: $$0\cdot a+a\cdot 0+(-b)\cdot 0=0.$$ - Entrada $(1,3)$: $$0\cdot(-b)+a\cdot b+(-b)\cdot 0=ab.$$ La fila 2 de $A$ es $(0,0,b)$ y al multiplicar por $A$ da fila nula (porque la fila 3 de $A$ es nula). La fila 3 de $A$ es nula, así que también da fila nula. Por tanto: $$A^2=\begin{pmatrix}0&0&ab\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}.$$ Ahora calculamos $A^3=A^2\cdot A$. La única fila no nula de $A^2$ es la primera: $(0,0,ab)$, y al multiplicar por $A$ usa la fila 3 de $A$ (que es nula), así que da todo cero. Luego: $$A^3=0.$$ Entonces, para todo $n\ge 3$: $$A^n=0.$$ En particular: $$\boxed{A^{10}=0_{3\times 3}}.$$

**b) [1,75 puntos] Calcula, si es posible, la matriz inversa de $I+A+A^2$.** Sea $$M=I+A+A^2.$$ Ya tenemos: $$A=\begin{pmatrix}0&a&-b\\0&0&b\\0&0&0\end{pmatrix},\qquad A^2=\begin{pmatrix}0&0&ab\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},\qquad I=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$ Sumamos entrada a entrada: - Fila 1: $$\begin{align*} (1,1):\ &1+0+0=1,\\ (1,2):\ &0+a+0=a,\\ (1,3):\ &0+(-b)+ab=ab-b=b(a-1). \end{align*}$$ - Fila 2: $$\begin{align*} (2,1):\ &0+0+0=0,\\ (2,2):\ &1+0+0=1,\\ (2,3):\ &0+b+0=b. \end{align*}$$ - Fila 3: $$\begin{align*} (3,1):\ &0+0+0=0,\\ (3,2):\ &0+0+0=0,\\ (3,3):\ &1+0+0=1. \end{align*}$$ Así: $$\boxed{M=\begin{pmatrix}1&a&b(a-1)\\0&1&b\\0&0&1\end{pmatrix}}.$$ 💡 **Tip:** Si una matriz triangular tiene unos en la diagonal, su determinante es $1$ (producto de la diagonal), así que es invertible. Para hallar $M^{-1}$ usamos Gauss-Jordan: formamos la matriz aumentada $[M\,|\,I]$ y reducimos hasta $[I\,|\,M^{-1}]$: $$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & a & b(a-1) & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & b & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).$$

Vamos anulando los elementos por encima del pivote de la tercera columna. 1) Eliminar el $b$ de la posición $(2,3)$ usando la fila 3: Operación: $$R_2\leftarrow R_2-bR_3.$$ Cálculo en la parte derecha: - En la izquierda: $(0,1,b)-(b\cdot 0,\,b\cdot 0,\,b\cdot 1)=(0,1,0)$. - En la derecha: $(0,1,0)-b(0,0,1)=(0,1,-b)$. Queda: $$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & a & b(a-1) & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -b \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).$$ 2) Eliminar el $b(a-1)$ de la posición $(1,3)$ usando la fila 3: Operación: $$R_1\leftarrow R_1-b(a-1)R_3.$$ Cálculo en la parte derecha: - En la izquierda: $(1,a,b(a-1))-(b(a-1)\cdot 0,\,b(a-1)\cdot 0,\,b(a-1)\cdot 1)=(1,a,0)$. - En la derecha: $(1,0,0)-b(a-1)(0,0,1)=(1,0,-b(a-1))$. Queda: $$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & a & 0 & 1 & 0 & -b(a-1) \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -b \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).$$ 3) Eliminar el $a$ de la posición $(1,2)$ usando la fila 2: Operación: $$R_1\leftarrow R_1-aR_2.$$ Cálculo en la parte derecha: - En la izquierda: $(1,a,0)-a(0,1,0)=(1,0,0)$. - En la derecha: $(1,0,-b(a-1)) - a(0,1,-b) = (1,\,-a,\,-b(a-1)+ab).$ Ahora simplificamos la tercera componente: $$-b(a-1)+ab=-ba+b+ab=b.$$ Queda: $$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & -a & b \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -b \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).$$ 💡 **Tip:** En Gauss-Jordan, avanza de abajo arriba: primero limpias la columna del último pivote (aquí la tercera) y luego subes.

Como ya tenemos la identidad a la izquierda, la parte derecha es $M^{-1}$. Por tanto: $$\boxed{M^{-1}=(I+A+A^2)^{-1}=\begin{pmatrix}1&-a&b\\0&1&-b\\0&0&1\end{pmatrix}}.$$ 💡 **Tip:** Para comprobar rápidamente una inversa sin multiplicar todo, verifica que: - $M$ es triangular con diagonal $1$ (invertible), - y que $M\,M^{-1}$ mantiene la diagonal $1$ y anula las entradas fuera de la diagonal (sobre todo en matrices triangulares).