Análisis 2023 Andalucia
Primitiva de $\cos(\sqrt{x})$ con cambio $t=\sqrt{x}$ y condición inicial
EJERCICIO 4. (2,5 puntos)
Considera la función $f : [0, +\infty) \to \mathbb{R}$ definida por $f(x)=\cos(\sqrt{x})$. Calcula, si es posible, una primitiva de $f$ cuya gráfica pase por el punto $(0, 5)$. Sugerencia: haz el cambio $t=\sqrt{x}$.
Paso 1
Plantear la integral e introducir el cambio sugerido
**Calcula, si es posible, una primitiva de $f(x)=\cos(\sqrt{x})$ cuya gráfica pase por $(0,5)$.**
Buscamos
$$F(x)=\int \cos(\sqrt{x})\,dx.$$
Usamos el cambio sugerido:
$$t=\sqrt{x}\ \Rightarrow\ x=t^2.$$
Derivamos $x=t^2$:
$$dx=2t\,dt.$$
Sustituimos en la integral:
$$\int \cos(\sqrt{x})\,dx=\int \cos(t)\,2t\,dt=2\int t\cos(t)\,dt.$$
Paso 2
Integración por partes en $\int t\cos t\,dt$
Calculamos
$$2\int t\cos(t)\,dt.$$
Integramos por partes en $\int t\cos t\,dt$:
Tomamos
$$u=t\ \Rightarrow\ du=dt,$$
$$dv=\cos(t)\,dt\ \Rightarrow\ v=\sin(t).$$
Entonces:
$$\int t\cos(t)\,dt=u\,v-\int v\,du=t\sin(t)-\int \sin(t)\,dt.$$
Y
$$\int \sin(t)\,dt=-\cos(t).$$
Por tanto:
$$\int t\cos(t)\,dt=t\sin(t)+\cos(t)+C.$$
Multiplicando por $2$:
$$2\int t\cos(t)\,dt=2t\sin(t)+2\cos(t)+C.$$
Volvemos a $x$ usando $t=\sqrt{x}$:
$$F(x)=2\sqrt{x}\,\sin(\sqrt{x})+2\cos(\sqrt{x})+C.$$
Paso 3
Imponer que pase por $(0,5)$
Imponemos la condición
$$F(0)=5.$$
Calculamos $F(0)$:
- $\sqrt{0}=0$,
- $\sin(0)=0$,
- $\cos(0)=1$.
Entonces:
$$F(0)=2\cdot 0\cdot 0+2\cdot 1+C=2+C.$$
Igualamos a $5$:
$$2+C=5\ \Rightarrow\ C=3.$$
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{F(x)=2\sqrt{x}\,\sin(\sqrt{x})+2\cos(\sqrt{x})+3}$$