Crecimiento de $f$ a partir de una primitiva y área con Barrow

**a) [1,25 puntos] Comprueba que $f$ es creciente.** Como $F$ es una primitiva de $f$, se cumple $$f(x)=F'(x).$$ Dado $$F(x)=e^{x^2},$$ derivamos usando regla de la cadena: $$(e^{x^2})'=e^{x^2}\cdot (x^2)'=e^{x^2}\cdot 2x.$$ Luego $$\boxed{f(x)=2x e^{x^2}}.$$ Para ver si $f$ es creciente, estudiamos el signo de $f'(x)$. Derivamos $f(x)=2x e^{x^2}$ (producto): $$f'(x)=(2x)'e^{x^2}+2x(e^{x^2})'$$ $$f'(x)=2e^{x^2}+2x\cdot e^{x^2}\cdot 2x$$ $$f'(x)=2e^{x^2}+4x^2 e^{x^2}=2e^{x^2}(1+2x^2).$$ Como $e^{x^2}>0$ para todo $x$ y $1+2x^2>0$ para todo $x$, $$f'(x)>0\ \forall x\in\mathbb{R}.$$ ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{f\text{ es creciente en }\mathbb{R}.}$$

**b) [1,25 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función $f$, el eje de abscisas y la recta $x=1$.** La función es $$f(x)=2x e^{x^2}.$$ Cortes con el eje de abscisas ($y=0$): $$2x e^{x^2}=0\ \Rightarrow\ x=0$$ (porque $e^{x^2}\ne 0$). En el intervalo $[0,1]$ se cumple $x\ge 0$ y $e^{x^2}>0$, por tanto $$f(x)\ge 0\ \text{en }[0,1].$$ Así, el recinto está entre $x=0$ y $x=1$, y el área es $$A=\int_{0}^{1} f(x)\,dx=\int_{0}^{1} 2x e^{x^2}\,dx.$$

Como $F(x)=e^{x^2}$ es una primitiva de $f$, se cumple $$\int_{0}^{1} f(x)\,dx=\big[F(x)\big]_{0}^{1}=F(1)-F(0).$$ Calculamos: $$F(1)=e^{1^2}=e,$$ $$F(0)=e^{0^2}=e^0=1.$$ Entonces: $$A=F(1)-F(0)=e-1.$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A=e-1}$$