Asíntota oblicua y recta normal en una función racional con parámetros

**a) [1,5 puntos] Calcula $a$ y $b$ para que la gráfica de $f$ pase por el punto $(1,-2)$ y tenga a la recta $y=x+4$ como asíntota oblicua.** Partimos de $$f(x)=\frac{x^2+a}{x-b},\quad x\ne b.$$ Para hallar la asíntota oblicua **sin dividir**, usamos límites. Si la asíntota es $y=mx+n$, entonces: $$m=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x},\qquad n=\lim_{x\to\pm\infty}\bigl(f(x)-mx\bigr).$$ **1) Cálculo de $m$** $$\frac{f(x)}{x}=\frac{\frac{x^2+a}{x-b}}{x}=\frac{x^2+a}{x(x-b)}=\frac{x^2+a}{x^2-bx}.$$ Dividimos numerador y denominador entre $x^2$: $$\frac{x^2+a}{x^2-bx}=\frac{1+\frac{a}{x^2}}{1-\frac{b}{x}}\xrightarrow[x\to\pm\infty]{}\frac{1+0}{1-0}=1.$$ Luego, $$\boxed{m=1}.$$ **2) Cálculo de $n$** $$n=\lim_{x\to\pm\infty}\bigl(f(x)-x\bigr)=\lim_{x\to\pm\infty}\left(\frac{x^2+a}{x-b}-x\right).$$ Unificamos en una sola fracción: $$\frac{x^2+a}{x-b}-x=\frac{x^2+a-x(x-b)}{x-b}=\frac{x^2+a-(x^2-bx)}{x-b}=\frac{bx+a}{x-b}.$$ Dividimos numerador y denominador entre $x$: $$\frac{bx+a}{x-b}=\frac{b+\frac{a}{x}}{1-\frac{b}{x}}\xrightarrow[x\to\pm\infty]{}\frac{b+0}{1-0}=b.$$ Por tanto, $$\boxed{n=b}.$$ Así, la asíntota oblicua es $$y=mx+n=x+b.$$ Como nos dicen que la asíntota es $y=x+4$, se cumple: $$x+b=x+4\ \Rightarrow\ \boxed{b=4}.$$ 💡 **Tip:** Para una asíntota oblicua $y=mx+n$, recuerda: $m=\lim\frac{f(x)}{x}$ y luego $n=\lim(f(x)-mx)$. Es el “método directo” con límites.

Ahora usamos que la gráfica pasa por $(1,-2)$, es decir: $$f(1)=-2.$$ Sustituimos $x=1$ y $b=4$: $$f(1)=\frac{1^2+a}{1-4}=\frac{1+a}{-3}.$$ Imponemos $f(1)=-2$: $$\frac{1+a}{-3}=-2\ \Rightarrow\ 1+a=6\ \Rightarrow\ \boxed{a=5}.$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{a=5,\quad b=4}$$ 💡 **Tip:** “Pasa por $(x_0,y_0)$” siempre se traduce en $f(x_0)=y_0$.

Con $a=5$ y $b=4$: $$f(x)=\frac{x^2+5}{x-4}=x+4+\frac{21}{x-4}.$$ Se ve directamente que la asíntota oblicua es $y=x+4$. Además: $$f(1)=\frac{1+5}{-3}=-2,$$ por lo que el punto $(1,-2)$ pertenece a la gráfica. 💡 **Tip:** Es muy útil reescribir la función como “recta + resto”: $f(x)=x+4+\dfrac{21}{x-4}$.

**b) [1 punto] En el caso $a=5$ y $b=4$, calcula la ecuación de la recta normal a la gráfica de $f$ que pasa por el punto de abscisa $x=0$.** Con $a=5$ y $b=4$: $$f(x)=\frac{x^2+5}{x-4},\quad x\ne 4.$$ El punto de la curva con abscisa $x=0$ es: $$P=(0,f(0)),$$ $$f(0)=\frac{0^2+5}{0-4}=\frac{5}{-4}=-\frac{5}{4}.$$ Así: $$P=\left(0,-\frac{5}{4}\right).$$ Ahora necesitamos la pendiente de la tangente en $x=0$, que es $f'(0)$. Derivamos con la regla del cociente ($u=x^2+5$, $v=x-4$): $$f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2}=\frac{(2x)(x-4)-(x^2+5)\cdot 1}{(x-4)^2}.$$ Simplificamos el numerador: $$ (2x)(x-4)-(x^2+5)=2x^2-8x-x^2-5=x^2-8x-5.$$ Por tanto: $$f'(x)=\frac{x^2-8x-5}{(x-4)^2}.$$ Evaluamos en $x=0$: $$f'(0)=\frac{-5}{(-4)^2}=\frac{-5}{16}.$$ Luego la pendiente de la tangente es $$m_T=-\frac{5}{16}.$$ 💡 **Tip:** La recta normal es perpendicular a la tangente, así que sus pendientes cumplen $m_T\,m_N=-1$.

Como $m_T=-\dfrac{5}{16}$, la pendiente de la normal es $$m_N=-\frac{1}{m_T}=-\frac{1}{-5/16}=\frac{16}{5}.$$ La normal pasa por $P\left(0,-\dfrac{5}{4}\right)$, así que en forma punto-pendiente: $$y-\left(-\frac{5}{4}\right)=\frac{16}{5}(x-0).$$ Es decir: $$y+\frac{5}{4}=\frac{16}{5}x\quad\Rightarrow\quad y=\frac{16}{5}x-\frac{5}{4}.$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{y=\frac{16}{5}x-\frac{5}{4}}$$ (Equivalente en forma general: $\boxed{64x-20y-25=0}$.)