Optimización con restricción: máximo de $x\sqrt{y}$ con $x+y=1$

**Halla dos números mayores o iguales que 0, cuya suma sea 1, y el producto de uno de ellos por la raíz cuadrada del otro sea máximo.** Sea $x\ge 0$ y $y\ge 0$ con $$x+y=1.$$ Entonces $$y=1-x,\quad 0\le x\le 1.$$ El producto pedido (tomando “uno” como $x$ y “el otro” como $y$) es: $$P(x)=x\sqrt{y}=x\sqrt{1-x},\qquad 0\le x\le 1.$$ Queremos hallar el máximo absoluto de $P(x)$ en $[0,1]$.

Derivamos $$P(x)=x(1-x)^{1/2}.$$ Regla del producto: $$P'(x)=1\cdot(1-x)^{1/2}+x\cdot\frac{1}{2}(1-x)^{-1/2}\cdot(-1).$$ Simplificamos: $$P'(x)=\sqrt{1-x}-\frac{x}{2\sqrt{1-x}}= \frac{2(1-x)-x}{2\sqrt{1-x}}= \frac{2-3x}{2\sqrt{1-x}}.$$ En el interior $(0,1)$, el denominador es positivo, así que los puntos críticos vienen de $$2-3x=0\ \Rightarrow\ x=\frac{2}{3}.$$

Como $2\sqrt{1-x}>0$ en $(0,1)$, el signo de $P'(x)$ depende de $2-3x$: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (0,\,\tfrac{2}{3}) & \tfrac{2}{3} & (\tfrac{2}{3},\,1)\\\hline 2-3x & + & 0 & -\\\hline P'(x) & + & 0 & - \end{array} $$ Luego $P$ **crece** en $(0,\tfrac{2}{3})$ y **decrece** en $(\tfrac{2}{3},1)$, por lo que en $x=\tfrac{2}{3}$ hay un **máximo**. Comprobamos también los extremos: $$P(0)=0,\qquad P(1)=1\cdot 0=0.$$ Por tanto, el máximo absoluto está en $x=\tfrac{2}{3}$. Entonces $$y=1-x=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}.$$ El valor máximo es: $$P\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{2}{3\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{9}.$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x=\frac{2}{3},\quad y=\frac{1}{3}}$$