Plano paralelo a otro con condición de distancia sobre una recta

**Halla la ecuación de un plano $\pi'$, paralelo a $\pi$, tal que la distancia entre $Q=r\cap\pi$ y $Q'=r\cap\pi'$ sea 2.** Parametrizamos la recta: $$x-1=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{2}=t.$$ Entonces: $$x=1+t,\qquad y=2t,\qquad z=2t-1.$$ Para hallar $Q=r\cap\pi$, imponemos la ecuación del plano $\pi: x+y+z=0$: $$(1+t)+2t+(2t-1)=0.$$ Simplificamos: $$1+t+2t+2t-1=0\ \Rightarrow\ 5t=0\ \Rightarrow\ t=0.$$ Sustituimos en la recta: $$Q=(1+0,\,2\cdot 0,\,2\cdot 0-1)=(1,0,-1).$$ ✅ $$\boxed{Q=(1,0,-1)}$$

Un plano $\pi'$ paralelo a $\pi: x+y+z=0$ tiene el mismo vector normal $(1,1,1)$, así que su ecuación es: $$\pi_k:\ x+y+z=k,\quad k\in\mathbb{R}.$$ El punto $Q'$ es la intersección con la recta, así que sustituimos la parametrización: $$x+y+z=(1+t)+2t+(2t-1)=5t.$$ Imponemos que pertenezca a $\pi_k$: $$5t=k\ \Rightarrow\ t=\frac{k}{5}.$$ Luego: $$Q'=(1+\tfrac{k}{5},\,2\tfrac{k}{5},\,2\tfrac{k}{5}-1).$$

Como $Q$ y $Q'$ están en la recta $r$, la distancia entre ellos es la distancia a lo largo de la recta. El vector director de $r$ (por la parametrización) es: $$\vec v=(1,2,2).$$ Su módulo: $$\|\vec v\|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{9}=3.$$ En la recta, al pasar de $t=0$ a $t=\frac{k}{5}$, la distancia es: $$d(Q,Q')=\left|\frac{k}{5}-0\right|\cdot \|\vec v\|=\left|\frac{k}{5}\right|\cdot 3.$$ Imponemos $d(Q,Q')=2$: $$\left|\frac{k}{5}\right|\cdot 3=2\ \Rightarrow\ \left|k\right|=\frac{10}{3}.$$ Luego hay dos posibilidades: $$k=\frac{10}{3}\quad\text{o}\quad k=-\frac{10}{3}.$$ ✅ **Planos solución:** $$\boxed{\pi'_1:\ x+y+z=\frac{10}{3}}$$ $$\boxed{\pi'_2:\ x+y+z=-\frac{10}{3}}$$