División de un segmento y plano perpendicular

**a) [1,5 puntos] Halla los puntos que dividen el segmento $AB$ en cuatro partes iguales.** Calculamos el vector: $$\overrightarrow{AB}=B-A=(2-1,\,0-(-2),\,-1-3)=(1,2,-4).$$ Dividir en 4 partes iguales significa tomar los puntos: $$P_1=A+\frac{1}{4}\overrightarrow{AB},\quad P_2=A+\frac{2}{4}\overrightarrow{AB},\quad P_3=A+\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}.$$ Calculamos cada uno: - $$P_1=(1,-2,3)+\frac{1}{4}(1,2,-4)=\left(1+\frac{1}{4},\,-2+\frac{2}{4},\,3-\frac{4}{4}\right)=\left(\frac{5}{4},\,-\frac{3}{2},\,2\right).$$ - $$P_2=(1,-2,3)+\frac{1}{2}(1,2,-4)=\left(1+\frac{1}{2},\,-2+1,\,3-2\right)=\left(\frac{3}{2},\,-1,\,1\right).$$ - $$P_3=(1,-2,3)+\frac{3}{4}(1,2,-4)=\left(1+\frac{3}{4},\,-2+\frac{6}{4},\,3-3\right)=\left(\frac{7}{4},\,-\frac{1}{2},\,0\right).$$ ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{P_1\left(\frac{5}{4},-\frac{3}{2},2\right),\quad P_2\left(\frac{3}{2},-1,1\right),\quad P_3\left(\frac{7}{4},-\frac{1}{2},0\right)}$$

**b) [1 punto] Determina la ecuación del plano perpendicular al segmento $AB$ que pasa por el punto medio de dicho segmento.** El punto medio de $AB$ es: $$M=\frac{A+B}{2}=\left(\frac{1+2}{2},\frac{-2+0}{2},\frac{3+(-1)}{2}\right)=\left(\frac{3}{2},-1,1\right).$$ Un plano perpendicular al segmento $AB$ tiene como vector normal un vector paralelo a $\overrightarrow{AB}$. Luego podemos tomar como normal: $$\vec n=(1,2,-4).$$ Ecuación del plano que pasa por $M$ con normal $\vec n$: $$\vec n\cdot\big((x,y,z)-M\big)=0.$$ Sustituimos: $$(1,2,-4)\cdot\left(x-\frac{3}{2},\ y-(-1),\ z-1\right)=0.$$ Producto escalar: $$1\left(x-\frac{3}{2}\right)+2(y+1)-4(z-1)=0.$$ Desarrollamos: $$x-\frac{3}{2}+2y+2-4z+4=0$$ $$x+2y-4z+\left(6-\frac{3}{2}\right)=0$$ $$x+2y-4z+\frac{9}{2}=0.$$ Multiplicamos por $2$: $$2x+4y-8z+9=0.$$ ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{2x+4y-8z+9=0}$$