Invertibilidad de una matriz con parámetro y ecuación matricial

**a) [1 punto] Determina los valores de $m$ para que la matriz $A$ tenga inversa.** Una matriz cuadrada $A$ tiene inversa si y solo si $$\det(A)\ne 0.$$ Calculamos el determinante de $$A=\begin{pmatrix}1&2m&-1\\3&0&-2\\-3m&1&2\end{pmatrix}.$$ Desarrollamos por la primera fila: $$\det(A)=1\cdot\begin{vmatrix}0&-2\\1&2\end{vmatrix}-(2m)\cdot\begin{vmatrix}3&-2\\-3m&2\end{vmatrix}+(-1)\cdot\begin{vmatrix}3&0\\-3m&1\end{vmatrix}.$$ Calculamos los menores: $$\begin{vmatrix}0&-2\\1&2\end{vmatrix}=0\cdot 2-(-2)\cdot 1=2.$$ $$\begin{vmatrix}3&-2\\-3m&2\end{vmatrix}=3\cdot 2-(-2)(-3m)=6-6m.$$ $$\begin{vmatrix}3&0\\-3m&1\end{vmatrix}=3\cdot 1-0\cdot(-3m)=3.$$ Sustituimos: $$\det(A)=1\cdot 2-(2m)(6-6m)+(-1)\cdot 3.$$ Simplificamos: $$\det(A)=2-12m+12m^2-3=12m^2-12m-1.$$ 💡 **Tip:** Para la inversa no hace falta calcular $A^{-1}$: basta con estudiar cuándo $\det(A)\neq 0$.

Imponemos: $$12m^2-12m-1\ne 0.$$ Resolvemos la ecuación asociada: $$12m^2-12m-1=0.$$ Fórmula cuadrática: $$m=\frac{12\pm\sqrt{(-12)^2-4\cdot 12\cdot(-1)}}{2\cdot 12}=\frac{12\pm\sqrt{144+48}}{24}.$$ $$m=\frac{12\pm\sqrt{192}}{24}.$$ Como $\sqrt{192}=\sqrt{64\cdot 3}=8\sqrt{3}$: $$m=\frac{12\pm 8\sqrt{3}}{24}=\frac{3\pm 2\sqrt{3}}{6}.$$ Por tanto: $$\boxed{A\text{ tiene inversa }\iff m\in\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{3+2\sqrt{3}}{6},\,\frac{3-2\sqrt{3}}{6}\right\}.}$$

**b) [1,5 puntos] Calcula para $m=1$, si es posible, la matriz $X$ tal que $AX=B^t$.** Para $m=1$: $$A=\begin{pmatrix}1&2&-1\\3&0&-2\\-3&1&2\end{pmatrix}.$$ Calculamos la traspuesta de $$B=\begin{pmatrix}1&-1&3\\0&2&1\\2&5&4\end{pmatrix}$$ intercambiando filas por columnas: $$B^t=\begin{pmatrix}1&0&2\\-1&2&5\\3&1&4\end{pmatrix}.$$ Primero comprobamos si $A$ es invertible con $m=1$: $$\det(A)=12\cdot1^2-12\cdot1-1=-1\ne 0.$$ Luego $A^{-1}$ existe. Como $$AX=B^t,$$ multiplicamos a la izquierda por $A^{-1}$: $$A^{-1}(AX)=A^{-1}B^t\ \Rightarrow\ (A^{-1}A)X=A^{-1}B^t\ \Rightarrow\ IX=A^{-1}B^t.$$ Por tanto, $$\boxed{X=A^{-1}B^t}.$$

Como $\det(A)=-1$, tenemos: $$A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A)=-\operatorname{adj}(A).$$ Calculamos los cofactores $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$, donde $M_{ij}$ es el determinante del menor al quitar fila $i$ y columna $j$. Para $$A=\begin{pmatrix}1&2&-1\\3&0&-2\\-3&1&2\end{pmatrix}:$$ - Fila 1: $$\begin{align*} M_{11}&=\begin{vmatrix}0&-2\\1&2\end{vmatrix}=2\Rightarrow C_{11}=2,\\ M_{12}&=\begin{vmatrix}3&-2\\-3&2\end{vmatrix}=6-6=0\Rightarrow C_{12}=-0=0,\\ M_{13}&=\begin{vmatrix}3&0\\-3&1\end{vmatrix}=3\Rightarrow C_{13}=3. \end{align*}$$ - Fila 2: $$\begin{align*} M_{21}&=\begin{vmatrix}2&-1\\1&2\end{vmatrix}=4+1=5\Rightarrow C_{21}=-5,\\ M_{22}&=\begin{vmatrix}1&-1\\-3&2\end{vmatrix}=2-3=-1\Rightarrow C_{22}=-1,\\ M_{23}&=\begin{vmatrix}1&2\\-3&1\end{vmatrix}=1+6=7\Rightarrow C_{23}=-7. \end{align*}$$ - Fila 3: $$\begin{align*} M_{31}&=\begin{vmatrix}2&-1\\0&-2\end{vmatrix}=-4\Rightarrow C_{31}=-4,\\ M_{32}&=\begin{vmatrix}1&-1\\3&-2\end{vmatrix}=-2+3=1\Rightarrow C_{32}=-1,\\ M_{33}&=\begin{vmatrix}1&2\\3&0\end{vmatrix}=-6\Rightarrow C_{33}=-6. \end{align*}$$ La matriz de cofactores es: $$C=\begin{pmatrix}2&0&3\\-5&-1&-7\\-4&-1&-6\end{pmatrix}.$$ La adjunta es la traspuesta de $C$: $$\operatorname{adj}(A)=C^t=\begin{pmatrix}2&-5&-4\\0&-1&-1\\3&-7&-6\end{pmatrix}.$$ Finalmente, $$A^{-1}=-\operatorname{adj}(A)=\begin{pmatrix}-2&5&4\\0&1&1\\-3&7&6\end{pmatrix}.$$ Así, $$\boxed{A^{-1}=\begin{pmatrix}-2&5&4\\0&1&1\\-3&7&6\end{pmatrix}}.$$

Ya tenemos: $$A^{-1}=\begin{pmatrix}-2&5&4\\0&1&1\\-3&7&6\end{pmatrix},\qquad B^t=\begin{pmatrix}1&0&2\\-1&2&5\\3&1&4\end{pmatrix}.$$ Calculamos el producto $X=A^{-1}B^t$ (fila por columna): - Primera fila de $X$: $$\begin{align*} X_{11}&=(-2)\cdot1+5\cdot(-1)+4\cdot3=-2-5+12=5,\\ X_{12}&=(-2)\cdot0+5\cdot2+4\cdot1=0+10+4=14,\\ X_{13}&=(-2)\cdot2+5\cdot5+4\cdot4=-4+25+16=37. \end{align*}$$ - Segunda fila de $X$: $$\begin{align*} X_{21}&=0\cdot1+1\cdot(-1)+1\cdot3=-1+3=2,\\ X_{22}&=0\cdot0+1\cdot2+1\cdot1=2+1=3,\\ X_{23}&=0\cdot2+1\cdot5+1\cdot4=5+4=9. \end{align*}$$ - Tercera fila de $X$: $$\begin{align*} X_{31}&=(-3)\cdot1+7\cdot(-1)+6\cdot3=-3-7+18=8,\\ X_{32}&=(-3)\cdot0+7\cdot2+6\cdot1=14+6=20,\\ X_{33}&=(-3)\cdot2+7\cdot5+6\cdot4=-6+35+24=53. \end{align*}$$ Por tanto, $$\boxed{X=\begin{pmatrix}5&14&37\\2&3&9\\8&20&53\end{pmatrix}}.$$