Mezcla de líquidos y sistema de ecuaciones

**¿Es posible obtener un litro de un líquido mezclando distintas cantidades de $L1$, $L2$ y $L3$ en el que la cantidad de sodio y de magnesio sea de 100 mg cada una? En caso afirmativo, calcula dichas cantidades.** Sea: - $x$ = litros de $L1$. - $y$ = litros de $L2$. - $z$ = litros de $L3$. Como queremos **1 litro** en total: $$x+y+z=1.$$ Sodio total (mg): - $L1$: $120x$ - $L2$: $100y$ - $L3$: $60z$ Queremos 100 mg de sodio: $$120x+100y+60z=100.$$ Magnesio total (mg): - $L1$: $90x$ - $L2$: $90y$ - $L3$: $180z$ Queremos 100 mg de magnesio: $$90x+90y+180z=100.$$ Tenemos el sistema: $$\begin{cases} x+y+z=1\\ 120x+100y+60z=100\\ 90x+90y+180z=100 \end{cases}$$

Tomamos la ecuación de magnesio y dividimos entre $90$: $$90x+90y+180z=100\ \Rightarrow\ x+y+2z=\frac{100}{90}=\frac{10}{9}.$$ Restamos la ecuación $x+y+z=1$: $$(x+y+2z)-(x+y+z)=\frac{10}{9}-1.$$ Queda: $$z=\frac{10}{9}-\frac{9}{9}=\frac{1}{9}.$$ Entonces: $$x+y=1-z=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}.$$ Ahora usamos sodio: $$120x+100y+60z=100.$$ Sustituimos $z=\frac{1}{9}$: $$120x+100y+60\cdot\frac{1}{9}=100$$ $$120x+100y+\frac{20}{3}=100$$ $$120x+100y=100-\frac{20}{3}=\frac{300-20}{3}=\frac{280}{3}.$$ Dividimos entre $20$: $$6x+5y=\frac{14}{3}.$$ Como $x=\frac{8}{9}-y$: $$6\left(\frac{8}{9}-y\right)+5y=\frac{14}{3}.$$ Calculamos: $$\frac{48}{9}-6y+5y=\frac{14}{3}$$ $$\frac{16}{3}-y=\frac{14}{3}$$ $$y=\frac{2}{3}.$$ Entonces: $$x=\frac{8}{9}-\frac{2}{3}=\frac{8}{9}-\frac{6}{9}=\frac{2}{9}.$$ Ya teníamos: $$z=\frac{1}{9}.$$ ✅ **Solución:** $$\boxed{x=\frac{2}{9},\quad y=\frac{2}{3},\quad z=\frac{1}{9}}$$ Como son cantidades no negativas, **sí es posible**.