Punto de tangencia y área entre curva y recta

**a) [0,75 puntos] Determina el punto de la gráfica de $f$ en el que la recta tangente es $y=4x-3$.** Si la recta tangente es $y=4x-3$, su pendiente es $$m=4.$$ La pendiente de la tangente a la gráfica de $f$ en $x$ es $f'(x)$. Derivamos: $$f(x)=x^2+1\ \Rightarrow\ f'(x)=2x.$$ Imponemos que la pendiente coincida: $$f'(x)=4\ \Rightarrow\ 2x=4\ \Rightarrow\ x=2.$$ Calculamos la ordenada: $$y=f(2)=2^2+1=5.$$ ✅ **Punto pedido:** $$\boxed{(2,5)}$$

La recta tangente en $x=2$ usando punto-pendiente es: $$y-f(2)=f'(2)(x-2).$$ Como $f(2)=5$ y $f'(2)=2\cdot 2=4$: $$y-5=4(x-2).$$ Desarrollamos: $$y-5=4x-8\ \Rightarrow\ y=4x-3.$$ Coincide con la recta del enunciado, así que el punto es correcto.

**b) [1,75 puntos] Haz un esbozo del recinto limitado por la gráfica de $f$, la recta $y=4x-3$ y el eje de ordenadas. Calcula el área del recinto indicado.** El eje de ordenadas es $x=0$. Buscamos dónde se cortan la recta y la parábola: $$x^2+1=4x-3.$$ Pasamos todo al mismo lado: $$x^2-4x+4=0.$$ Factorizamos: $$(x-2)^2=0\ \Rightarrow\ x=2.$$ Luego se tocan en $x=2$ (de hecho, es tangencia). El recinto queda entre $x=0$ y $x=2$: - En $x=0$: $f(0)=1$ y la recta vale $-3$, así que la **parábola está arriba**. Área: $$A=\int_{0}^{2}\Big(f(x)-(4x-3)\Big)\,dx=\int_{0}^{2}\big(x^2+1-4x+3\big)\,dx.$$ Simplificamos: $$A=\int_{0}^{2}(x^2-4x+4)\,dx=\int_{0}^{2}(x-2)^2\,dx.$$ 💡 **Tip:** Para áreas entre curva y recta, primero decide cuál va arriba en el intervalo.

Calculamos: $$A=\int_{0}^{2}(x^2-4x+4)\,dx.$$ Una primitiva es: $$F(x)=\frac{x^3}{3}-2x^2+4x.$$ Aplicamos Barrow: $$A=\big[F(x)\big]_{0}^{2}=F(2)-F(0).$$ Calculamos: $$F(2)=\frac{2^3}{3}-2\cdot 2^2+4\cdot 2=\frac{8}{3}-8+8=\frac{8}{3}.$$ $$F(0)=0.$$ Por tanto: $$A=\frac{8}{3}-0=\frac{8}{3}.$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A=\frac{8}{3}}$$