Cálculo de una integral definida racional

**Calcula $$\int_{6}^{12}\frac{1}{9-x^2}\,dx.$$** Observamos que $$9-x^2=(3-x)(3+x).$$ Buscamos $A$ y $B$ tales que: $$\frac{1}{(3-x)(3+x)}=\frac{A}{3-x}+\frac{B}{3+x}.$$ Multiplicamos por $(3-x)(3+x)$: $$1=A(3+x)+B(3-x).$$ Calculamos $A$ y $B$ con valores cómodos: - Si $x=3$: $$1=A(3+3)+B(3-3)=6A\ \Rightarrow\ A=\frac{1}{6}.$$ - Si $x=-3$: $$1=A(3-3)+B(3-(-3))=6B\ \Rightarrow\ B=\frac{1}{6}.$$ Luego: $$\frac{1}{9-x^2}=\frac{1}{6}\left(\frac{1}{3-x}+\frac{1}{3+x}\right).$$

Sustituimos en la integral: $$\int_{6}^{12}\frac{1}{9-x^2}\,dx=\frac{1}{6}\int_{6}^{12}\left(\frac{1}{3-x}+\frac{1}{3+x}\right)dx.$$ Integramos cada término: - $$\int \frac{1}{3-x}\,dx=-\ln|3-x|+C.$$ - $$\int \frac{1}{3+x}\,dx=\ln|3+x|+C.$$ Así, una primitiva es: $$F(x)=\frac{1}{6}\left(-\ln|3-x|+\ln|3+x|\right)=\frac{1}{6}\ln\left|\frac{3+x}{3-x}\right|.$$ Aplicamos la **regla de Barrow**: $$\int_{6}^{12}\frac{1}{9-x^2}\,dx=\big[F(x)\big]_{6}^{12}=F(12)-F(6).$$ Calculamos: $$F(12)=\frac{1}{6}\ln\left|\frac{3+12}{3-12}\right|=\frac{1}{6}\ln\left|\frac{15}{-9}\right|=\frac{1}{6}\ln\left(\frac{5}{3}\right).$$ $$F(6)=\frac{1}{6}\ln\left|\frac{3+6}{3-6}\right|=\frac{1}{6}\ln\left|\frac{9}{-3}\right|=\frac{1}{6}\ln(3).$$ Restamos: $$F(12)-F(6)=\frac{1}{6}\left(\ln\left(\frac{5}{3}\right)-\ln(3)\right)=\frac{1}{6}\ln\left(\frac{5}{9}\right).$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\displaystyle \int_{6}^{12}\frac{1}{9-x^2}\,dx=\frac{1}{6}\ln\left(\frac{5}{9}\right)= -\frac{1}{6}\ln\left(\frac{9}{5}\right)}$$ 💡 **Tip:** Si sale un logaritmo de un número menor que $1$, el resultado es negativo (porque $\ln(t)\lt 0$ si $0\lt t\lt 1$).