Cálculo de un parámetro a partir de un límite (L'Hôpital)

**Sabiendo que $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)-\ln(1+x)}{a x^2-x+e^x-\cos(2x)}=-\frac{1}{7},$$ calcula $a$.** Sea $$L=\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)-\ln(1+x)}{a x^2-x+e^x-\cos(2x)}.$$ Sustituimos $x=0$: - Numerador: $\sin(0)-\ln(1+0)=0-0=0$. - Denominador: $a\cdot 0^2-0+e^0-\cos(0)=0+1-1=0$. Luego: $$L=\lim_{x\to 0}\frac{0}{0},$$ que es una indeterminación $\frac{0}{0}$, así que podemos usar **regla de L'Hôpital**.

Aplicamos L'Hôpital derivando numerador y denominador: $$L=\lim_{x\to 0}\frac{(\sin x-\ln(1+x))'}{(a x^2-x+e^x-\cos(2x))'}.$$ Derivamos: - $(\sin x)'=\cos x$. - $(\ln(1+x))'=\dfrac{1}{1+x}$. Entonces: $$(\sin x-\ln(1+x))'=\cos x-\frac{1}{1+x}.$$ En el denominador: - $(a x^2)'=2ax$. - $(-x)'=-1$. - $(e^x)'=e^x$. - $(-\cos(2x))'=2\sin(2x)$. Entonces: $$(a x^2-x+e^x-\cos(2x))'=2ax-1+e^x+2\sin(2x).$$ Así: $$L=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-\frac{1}{1+x}}{2ax-1+e^x+2\sin(2x)}.$$ Volvemos a sustituir $x=0$: - Numerador: $\cos 0-\frac{1}{1+0}=1-1=0$. - Denominador: $0-1+1+0=0$. Sigue siendo $\frac{0}{0}$, aplicamos L'Hôpital otra vez.

Aplicamos L'Hôpital por segunda vez: $$L=\lim_{x\to 0}\frac{\left(\cos x-\frac{1}{1+x}\right)'}{\left(2ax-1+e^x+2\sin(2x)\right)'}.$$ Derivamos el numerador: - $(\cos x)'=-\sin x$. - $\left(-\frac{1}{1+x}\right)'=+\frac{1}{(1+x)^2}$. Luego: $$\left(\cos x-\frac{1}{1+x}\right)'=-\sin x+\frac{1}{(1+x)^2}.$$ Derivamos el denominador: - $(2ax)'=2a$. - $(-1)'=0$. - $(e^x)'=e^x$. - $(2\sin(2x))'=4\cos(2x)$. Luego: $$\left(2ax-1+e^x+2\sin(2x)\right)'=2a+e^x+4\cos(2x).$$ Así: $$L=\lim_{x\to 0}\frac{-\sin x+\frac{1}{(1+x)^2}}{2a+e^x+4\cos(2x)}.$$ Sustituimos $x=0$: - Numerador: $-\sin 0+\frac{1}{(1+0)^2}=0+1=1$. - Denominador: $2a+e^0+4\cos 0=2a+1+4=2a+5$. Por tanto: $$L=\frac{1}{2a+5}.$$ Como el enunciado dice que $L=-\frac{1}{7}$: $$\frac{1}{2a+5}=-\frac{1}{7}.$$ Igualamos denominadores: $$2a+5=-7\ \Rightarrow\ 2a=-12\ \Rightarrow\ a=-6.$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a=-6}$$