Rectángulo de área máxima inscrito en una semicircunferencia

**Determina las longitudes de los lados de un rectángulo de área máxima que está inscrito en una semicircunferencia de 6 cm de radio, teniendo uno de sus lados sobre el diámetro de ella.** Colocamos la semicircunferencia de radio $6$ con centro en el origen y diámetro sobre el eje $x$. - Ecuación de la circunferencia: $$x^2+y^2=6^2=36.$$ - Como es semicircunferencia superior: $$y\ge 0.$$ El rectángulo tiene la base sobre el diámetro (eje $x$), y sus vértices superiores están sobre la semicircunferencia. Definimos: - $x$ = semibase del rectángulo (distancia desde el centro hasta un vértice inferior). Entonces la **base** vale $$b=2x.$$ - $y$ = altura del rectángulo. Entonces la **altura** vale $$h=y.$$ El vértice superior derecho del rectángulo es $(x,y)$ y está en la semicircunferencia, así que cumple: $$x^2+y^2=36.$$ Despejamos $y$ (tomando la rama positiva porque $y\ge 0$): $$y=\sqrt{36-x^2}.$$ Además, como $x$ es una distancia horizontal dentro del radio: $$0\le x\le 6.$$ $$\boxed{y=\sqrt{36-x^2},\ \ 0\le x\le 6}$$

El área del rectángulo es: $$A=b\cdot h=(2x)\cdot y.$$ Sustituimos $y=\sqrt{36-x^2}$: $$A(x)=2x\sqrt{36-x^2},\qquad 0\le x\le 6.$$ Nuestro objetivo es **maximizar** $A(x)$ en el intervalo $[0,6]$. 💡 **Tip:** En problemas de “área máxima”, lo habitual es (1) expresar el área con una sola variable y (2) buscar máximos con derivadas (incluyendo extremos del intervalo). $$\boxed{A(x)=2x\sqrt{36-x^2}\ \text{en}\ [0,6]}$$

Derivamos $$A(x)=2x\sqrt{36-x^2}=2x(36-x^2)^{1/2}.$$ Aplicamos regla del producto y cadena: $$\begin{align*} A'(x) &=2(36-x^2)^{1/2}+2x\cdot \frac{1}{2}(36-x^2)^{-1/2}\cdot(-2x)\\ &=2\sqrt{36-x^2}-\frac{2x^2}{\sqrt{36-x^2}}. \end{align*}$$ Ponemos denominador común $\sqrt{36-x^2}$: $$\begin{align*} A'(x) &=\frac{2(36-x^2)-2x^2}{\sqrt{36-x^2}}\\ &=\frac{72-4x^2}{\sqrt{36-x^2}}\\ &=\frac{4(18-x^2)}{\sqrt{36-x^2}}. \end{align*}$$ En el intervalo $0\le x\le 6$, el denominador $\sqrt{36-x^2}$ es $\ge 0$ (y solo vale $0$ en $x=6$), así que para puntos interiores $(0,6)$ la condición $A'(x)=0$ equivale a anular el numerador: $$18-x^2=0\ \Rightarrow\ x^2=18\ \Rightarrow\ x=3\sqrt{2}.$$ $$\boxed{x=3\sqrt{2}}$$

Comprobamos también los extremos del intervalo: - Si $x=0$, entonces $$A(0)=2\cdot 0\cdot \sqrt{36}=0.$$ - Si $x=6$, entonces $$A(6)=2\cdot 6\cdot \sqrt{36-36}=0.$$ Como en los extremos el área es $0$, el máximo se alcanza en el punto crítico interior $x=3\sqrt{2}$. Ahora calculamos la altura: $$y=\sqrt{36-x^2}=\sqrt{36-18}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}.$$ Por tanto: - Base del rectángulo: $$b=2x=2\cdot 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}\ \text{cm}.$$ - Altura del rectángulo: $$h=y=3\sqrt{2}\ \text{cm}.$$ (Área máxima, si se quiere comprobar): $$A_{\max}=b\cdot h=(6\sqrt{2})(3\sqrt{2})=18\cdot 2=36\ \text{cm}^2.$$ ✅ **Respuesta:** $$\boxed{\text{Base }=6\sqrt{2}\ \text{cm},\qquad \text{Altura }=3\sqrt{2}\ \text{cm}}$$